巧用变式突破“t”的几何意义

秦盛华

【摘要】涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，当联立方程组不太容易求解时，利用t的几何意义是一个比较好的选择，既能节省时间，提高解题效率，还能增强学生学习的自信心。利用数形结合、韦达定理解题，往往可以收到意想不到的惊喜，本文仅研究直线参数方程标准形式下解决的一大类问题：“IMQI+l MPI”类型。

【关键字】直线参数方程 标准形式 几何意义 距离

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（ 2020） 06-079-01

涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，当联立方程组不太容易求解时，利用t的几何意义是一个比较好的选择，既能节省时间，提高解题效率，还能增强学生学习的自信心。假设直线与圆锥曲线交于P、Q两点，M为直线PQ上一点，对于∣PQ∣的几何意义：∣t1-t2∣=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的几何意义∣t1·t2∣公式是固定的;对于IMPI+IMQI的几何意义∣t1∣+∣t2∣，如何正确理解t的几何意义，如何用上韦达定理是一个难点，这里就这个难点提出一些教学心得。

一、参数方程及参数t的几何意义

（1）直线的参数方程：

经过点Mo（xo，Yo），倾斜角为a的直线l的参数方程为

（t为参数）

（2）直线参数方程中参数t几何意义：参数t绝对值∣t∣表示参数t所对应的点M到定点Mo的距离。此时，若t>0，则的M0M方向向上;若t<0，则M0M的方向向下;若t=0，则点M与点M0重合。

二、对于IPQI的几何意义∣t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2和∣MP∣·∣MQ∣的几何意义∣t1·t2∣，公式是固定的，学生只需要死记硬背就可以很快掌握

例如：人教版A版选修4-4 P36例1：已知直线1：x+y-1=0与抛物线y=x2交于点A，B两点，求线段IABI的长和点M（-1.2）到A、B两点的距离之积。

三、对于∣MP∣+∣MQ∣的几何意义：∣t1∣+∣t2∣，如何用上韦达定理是一个难点，这个难点提出一些教学心得

学生在理解t的几何意义过程中比较想不明白的是t的正负情况，还有不清楚怎么把绝对值符号去掉以及如何合理应用韦达定理，通过几个变式可以很好地帮助学生理解。

例1变式1：例1条件不变，所求改为：求点M（一1，2）到A、B两点的距离之和。

例1变式2：例1条件不变，所求改为：求点P （1，0）到A、B两点的距离之和。

例1变式3：例1条件不变，所求改为：求点Q（一2，3）到A、B兩点的距离之和。

通过以上三个变式的训练，学生不但进一步理解了t的正负情况，还能理解P点的位置对韦达定理的合理应用有着重要影响。他们意识到不能盲目背公式，要画图帮助理解题意，这就是数学当中的重要解题方法之一：数形结合法。巩固提升：在直角坐标系xoy中，直线1的参数方程为

可是大多数学生在解题出现了以下常见错误解法：

提醒学生：当点O不在直线MN上时，∣OM∣和∣ON∣都不具备t的几何意义，利用t来计算，结果一定是错误的。这时候如果求∣OM∣ +∣ON∣的取值范围可以象本题利用p的几何意义进行计算，如果是求∣OM∣ +∣ON∣的值则可以直接把M、N、O三点坐标求出，利用两点间距离公式解答即可。

对于巩固提升的设计，提醒学生不能题目给什么参数方程就直接把参数方程代入圆锥曲线方程，需要仔细看清楚定点，既能提升学生对t的几何意义的理解，同时可以锻炼学生的运算能力。直线t的几何意义不是万能的，必须结合题目已知条件，选择正确的解题方法，这样才能达到好的效果。

[参考文献]

[1]徐智勇高中生数学思维能力培养探析[J].考试周刊.2018

[2]陈堆章论高中数学教育中学生数学思维意识养成和创新能力培养，[J].亚太教育，2019