具有轴向重合度的齿轮传动系统动力学行为研究

于耀庭,何芝仙,时培成,何长凯

(安徽工程大学 力学重点实验室,安徽 芜湖 241000)

图1 具有轴向重合度的直齿圆柱齿轮 图2 齿轮传动系统单自由度动力学模型

1 动力学模型

为了便于与标准渐开线齿轮传动系统相比较,研究具有轴向重合度的大重合度直齿圆柱齿轮传动系统动力学问题,仍采用单自由度扭转振动模型,如图2所示。该模型考虑齿轮轮齿的弹性变形,但忽略轴及轴承的弹性变形。根据刚体绕定轴转动运动微分方程,易得齿轮传动系统运动微分方程为[10-11]：

(1)

2 轮齿综合啮合刚度

计算轮齿综合啮合刚度是齿轮传动系统动力学求解必须解决的关键问题。与标准渐开线直齿圆柱齿轮相比,图1b所示的齿轮由错开半个齿距的两排标准渐开线直齿圆柱齿轮沿齿宽并联组成,因而,就每一排齿轮而言,齿轮啮合过程中轮齿的变形及啮合刚度与标准渐开线直齿圆柱齿轮相同。可采用Weber公式计算轮齿的变形[10-11],即轮齿啮合时的变形由啮合点处的接触变形δH,轮齿的弯曲及剪切力引起的啮合点位移δT,考虑轮体弹性变形引起的啮合点位移δA三部分组成。

(2)

图3 轮齿的几何参数

式中,b为齿宽；ρi为接触点处齿轮i的齿廓曲线曲率半径；E为材料的弹性模量；h1、h2分别为轮1、轮2的尺寸,h值、h的意义如图3所示；αx、FN、SF为齿轮的几何尺寸,具体意义如图3所示；x、y为齿轮任意截面处齿廓曲线上一点的x、y坐标。

单对齿轮副的啮合刚度为：

(3)

考虑到齿轮啮合过程中为单双齿啮合区交替进行,故单排齿轮的综合啮合刚度kΣ(t)为:

(4)

式中,Tz为一对轮齿一个啮合周期所需的时间；Ts为一对轮齿一个啮合周期内双齿啮合时间，Ts=Tz(εt-1)。

图4 大重合度齿轮传动啮合过程

对于图1b所示的大重合度齿轮传动系统,其啮合过程如图4所示。由图4可知，B1B2为实际啮合线,Pb为基圆齿距,εt为齿轮的端面重合度。每一排齿轮啮合过程与标准渐开线直齿圆柱齿轮传动相同,单、双齿啮合区交替进行。由于前后两排齿轮错开半个齿距,后排齿轮相对前排齿轮超前或滞后半个齿距。后排齿轮的单齿啮合区与前排齿轮的双齿啮合区重合,同样地,前排齿轮的单齿啮合区与后排齿轮的双齿啮合区重合。其总综合时变啮合刚度:

km(t)=kΣ1(t)+kΣ2(t),

(5)

式中,kΣ1(t)、kΣ2(t)分别代表前排、后排齿轮的综合时变啮合刚度,由于前后排轮齿错开半个齿距,故有：

kΣ1(t)=kΣ2(t+T1/2),

(6)

式中,T1/2为齿轮转动半个齿距所需时间。

齿轮之间的法向力在于各对轮齿之间的分配,可以根据各对轮齿的时变啮合刚度求出[10-11],无需赘述。

3 求解结果及分析

在已知齿轮几何参数前提下,法向力作用下轮齿变形及齿轮啮合刚度用计算机编程计算很容易实现。在求出大重合度齿轮轮齿时变综合啮合刚度前提下,采用文献[10-11]所提出的方法,并用Runge-Kutta法求解运动方程(1),就可以得到大重合度齿轮系统的动力学响应。

计算原始数据：齿轮齿数z1=20,z2=41,模数m=10 mm,压力角α=20°,单排齿轮有效齿宽B=40 mm,齿轮传递功率P=5 kW,小齿轮转速n1=960 r/m。

大重合度齿轮单排齿轮从开始进入啮合到退出啮合，轮齿啮合刚度变化曲线如图5所示。与相同条件的标准渐开线直齿圆柱齿轮相比,变化规律完全相同,表现为随啮合点位置变化先升后降的光滑曲线。大重合度齿轮前排齿轮、后排齿轮综合啮合刚度及总啮合时变刚度随啮合点位置变化曲线如图6所示。就每一排齿轮而言,其综合啮合刚度变化规律与标准齿轮也完全相同,但前、后两排齿轮相差半个齿距。由于两排轮齿同时工作,大重合度齿轮在3齿啮合区和4齿啮合区交替变化。与相同工作条件的标准齿轮(即齿宽B=80 mm)的对比如图7所示。大重合度齿轮的综合啮合刚度啮合区交替变化频率增加了一倍,但综合啮合刚度突变的幅度由1.159×109N/m下降为5.776×108N/m,突变幅度减小了一倍。这将会大大改善齿轮传动系统的动力学性能,正是大重合度齿轮的独特优点。

图5 单对齿轮啮合刚度 图6 大重合度齿轮综合啮合刚度

不考虑齿轮传动系统动力效应时齿轮啮合过程中前后两排齿轮法向载荷分配关系如图8所示。法向载荷在前后排间分配取决于前后排轮齿的综合啮合刚度kΣ1(t)及kΣ2(t)。一对轮齿受到的法向载荷在齿轮啮合过程中的变化规律如图9所示。与标准渐开线齿轮相比,同样表现为法向载荷变化频率增加了一倍,突变幅度减小了一倍。

图7 大重合度齿轮与标准齿轮综合啮合刚度 图8 排间法向载荷分配

大重合度齿轮传动系统法向振动相对位移与速度响应如图10、图11所示。由图10、图11可见,与相同条件下的标准齿轮相比,两者变化规律明显不同,特别是振动位移及速度响应幅度下降显著,位移响应振幅由6.237×10-7mm下降至2.275×10-7mm,下降了63.52%,减振效果十分显著。这是由于大重合度齿轮大大降低了齿轮综合啮合刚度的突变量。

图9 单对轮齿承受的法向力随啮合点位置变化 图10 法向振动相对位移响应

图11 法向振动相对速度响应 图12 轮齿法向动、静态位移响应

大重合度齿轮在啮合过程中齿轮间的总法向力、前后两排齿轮间的法向分力的变化规律如图13所示。虽然前后两排齿轮之间的法向分力之和等于总法向力,但由于前后两排齿轮之间的法向分力大小并不相同,若将齿宽中心简化将会产生一个过齿宽中心沿两齿轮中心连线方向的力矩,即法向力在排间分配引起的附加力矩,其变化规律如图14所示。但这个随时间变化的动态附加力矩不会引起轴系产生轴向分量,可由轴承径向分力平衡。

图13 法向力随时间变化情况 图14 作用在齿轮上的附加力矩随时间变化情况

图15 前排一对齿轮法向力随时间变化

4 结论

对具有轴向重合度的大重合度直齿圆柱齿轮传动系统进行了静、动力学分析,并与同等条件下的标准渐开线直齿圆柱齿轮进行了比较,得到以下结论：

大重合度齿轮的综合时变啮合刚度在一个啮合周期内变化频率增加了近一倍,突变幅值也减小了近一倍,这正是大重合度齿轮传动系统动力学性能得到改善的根本原因。大重合度齿轮传动系统的法向振动位移响应一个啮合周期内作周期性变化,表现为在静态法向位移基础上叠加高频振动分量,位移动力放大系数最大可达1.338。与标准渐开线直齿圆柱齿轮传动系统相比,振幅下降了63.52%。大重合度齿轮传动系统的总法向力由前后两排齿轮分担,总法向力由排间分配和齿间分配后分配到每对参与啮合的齿轮轮齿上。由于前后两排齿轮之间的法向分力大小并不相同,会产生一个动态的附加力矩,但这个附加力矩不会产生轴向分量。

大重合度齿轮在保留标准渐开线直齿圆柱齿轮优点的前提下,提高了传动系统的重合度,大幅度降低了齿轮传动的振动和噪声,改善了直齿圆柱齿轮的动力学性能,因而可以用于高速传动场合。