材料弹性影响的塑料齿轮齿根应力仿真分析∗

袁卓俊 郭栋祥

（江苏科技大学 镇江 212100）

1 引言

通常设计齿轮时，首先要对齿轮强度进行核算。对于齿轮齿根应力计算方法，最早于1893年，Lewis［1］将轮齿视为悬臂梁，以此为基础计算齿根应力值。此后，基于Lewis悬臂梁理论的齿轮齿根应力计算方法被多数国家标准采用。现有标准［2～4］的齿轮齿根应力计算里，应力值取决于齿轮的齿形、结构参数、工况条件，与材料属性无关。但在文献［5］里，D Walton阐述了非金属齿轮由于弹性模量小，在变形影响下会导致齿轮实际重合度增大的可能性；在文献［6］与［7］中，Christian Hasl与Jabbour分别尝试以现有标准为基础，拟定一种考虑实际重合度增大引起的塑料直齿轮与塑料斜齿轮齿根应力计算方法。

本文采用ANSYS Workbench软件，对钢-塑料齿轮副单齿啮合模型的塑料齿轮齿根应力仿真分析，通过改变不同的弹性模量值，以及考虑轮齿挠曲变形的影响，计算不同材料弹性属性的塑料齿轮在一定负荷下的齿根应力。

2 试验参数与条件

齿轮参数如表1所示，齿轮副为外啮合标准渐开线直齿圆柱齿轮，常温下工作。材料参数如表2所示，塑料材料的泊松比范围μ∊(0.3，0.5)，这里取泊松比值μ=0.4。齿轮副参数不变，弹性模量选取1000Mpa～4000Mpa范围内的4个数值，主动轮施加的扭矩T1选取0.06Nm～8Nm范围内的6个数值，应用ANSYS Workbench软件进行仿真试验。

表1 齿轮参数

表2 材料参数

3 基于VDI 2736标准的塑料齿轮齿根应力计算

根据VDI 2736塑料齿轮强度计算标准，齿根应力有下列计算式：

查询VDI 2736标准的图表数据，通过确定式中参数，可以计算得σF2≈33.5T1。其中主动轮施加扭矩T1单位为Nm，塑料齿轮的齿根应力σF2单位为Mpa。

4 考虑材料弹性影响的齿根应力有限元法

联合应用Creo与ANSYS Workbench软件，根据表1的齿轮参数，建立齿轮单齿啮合模型，并定义表2的材料参数；然后对模型用六面体网格整体划分；最后在塑料齿轮齿根部位网格细化，如图1所示，经过网格划分后的模型，共有59048个节点和37801个单元。

图1 网格划分

在软件中，两个零件的接触分为接触体与目标体，钢齿轮与塑料齿轮接触，比较软的塑料齿轮为接触体，而较硬的钢齿轮为目标体，轮齿接触区需要考虑到塑料会出现的大变形，选用增广拉格朗日法，可以使这种大变形问题计算更容易收敛。塑料齿轮轮齿的底面固定约束，对齿根两侧面无摩擦支撑；钢齿轮作为驱动轮，应用Joint命令，仅释放钢齿轮轮齿绕Z轴转动的自由度，施加的载荷与约束如图2所示。此外，考虑在负荷下塑料齿轮模型产生的单元位移与形变，以及形变对有限元计算中刚度矩阵变化的影响，必须打开大变形开关。

图2 施加载荷与约束

通过计算，可以得出塑料齿轮的最大变形量、左侧齿根应力、右侧齿根应力、最大齿根应力的取值，以及最大齿根应力相对VDI 2736标准值的偏差。

5 齿根应力的数值处理与结果分析

5.1 塑料轮齿的变形

塑料轮齿的变形如图3所示，当塑料齿轮受到钢制齿轮施加的扭矩时，塑料轮齿会呈现出一定的挠曲变形，其最大变形点通常在塑料轮齿的齿尖部位。将塑料轮齿的最大变形量记为s，绘制图4曲线。图中，当施加的扭矩很小时，不同材料弹性模量下塑料轮齿的变形相差不大；当主动轮施加的扭矩较大时，塑料材料的弹性模量越小，塑料轮齿越容易较大变形。

图3 扭矩T1=6Nm时塑料轮齿的变形

图4 塑料轮齿的变形曲线图

5.2 塑料轮齿的接触

考虑塑料轮齿变形的影响，会使轮齿的接触状态出现相应变化。塑料轮齿的接触如图5～6所示。图5～6可以看出：主动轮施加扭矩T1一定时，选用较小弹性模量的材料，会使得塑料轮齿接触面积增大；额外增大的接触面积开始分担部分应力，导致轮齿接触面上最大应力点的位置与最大应力的数值发生改变，塑料轮齿上的载荷出现了重新分布。

图5 扭矩T1=4Nm时轮齿接触状况

图6 扭矩T1=4Nm时轮齿接触区的载荷分布

5.3 塑料轮齿的齿根应力

在主动轮施加的扭矩作用下，塑料齿轮的轮齿左侧齿根存在受拉的应力，右侧齿根存在受压的应力。以主动轮施加的扭矩T1为横坐标，某一侧的齿根应力σF为纵坐标，绘制曲线图7。在图7中，塑料齿轮两侧齿根处的应力具有一致的变化趋势，但齿根受压侧的应力值普遍比受拉侧的大，因此塑料齿轮最大齿根应力应取决于齿根受压侧。而无论是受拉还是受压，其两者的应力值普遍比VDI 2736标准的理论计算值低。

图7 塑料齿轮齿根应力

以主动轮施加的扭矩T1为横坐标，最大齿根应力相对VDI 2736标准计算值的偏差为纵坐标，绘制图8所示的偏差曲线。在图8中，当施加的扭矩不大时，不同弹性模量下的偏差相对较小，其最小值在3%附近；如果主动轮施加的扭矩较大，则相对标准的偏差值会随着选用材料弹性模量的减小而增大，本试验研究中最大偏差达到18%左右。

图8 偏差曲线图

相对偏差值的变化，这是由于VDI 2736标准计算，将齿轮视为了刚体模型，产生的形变忽略不计，这种假设对于钢制齿轮来说是成立的。但是塑料轮齿的变形对齿轮应力的影响不可忽略，特别是较小弹性模量的齿轮材料，在挠曲变形影响下，塑料轮齿额外扩展的接触区开始分担部分应力，以及塑料轮齿上载荷的重新分布，导致齿根处的部分应力在一定程度上得到消除，如图9～10所示，这会使塑料齿轮的齿根承载能力得以提高。

图9 施加扭矩T1=4Nm

图10 施加扭矩T1=6Nm

6 结语

应用ANSYS Workbench软件对钢-塑料齿轮副单齿啮合模型仿真试验，模拟不同塑料材料弹性模量数值下塑料轮齿的变形，以及对塑料齿轮齿根应力的影响，通过对比现有VDI 2736标准的塑料齿轮应力计算值，分析相对标准计算值的偏差来源。试验结果表明：单齿啮合时，施加扭矩一定，使用较小弹性模量的齿轮材料，塑料轮齿有更大的挠曲变形，导致轮齿接触面积会出现额外的增大，额外增大的接触面开始分担部分应力，齿轮上的载荷出现了重新分布，齿根处的部分应力在一定程度上得以消除，这会使塑料齿轮的齿根承载能力得到提高。