倾斜海床下偶极子产生标量电位的表达式推导∗

冯亚敏 吴 旭 王 航陈 聪

（1.海后军需能源质量监督站 北京 100080）（2.海军工程大学基础部 武汉 430033）

1 引言

近些年来，随着舰船消声消磁技术的提高和电磁场探测技术的发展，舰船水下腐蚀相关静态电场（Corrosion Related Static Electric Field，CRE）已成为舰船定位、水中兵器引信的新的重要信号源［1～7］。电偶极子作为最基本的电结构，其产生的场可以直接用来模拟某些辐射场，且一定分布的电偶极子的组合理论上可以用来模拟任意电流分布产生的场，因此国内通常利用偶极子模型进行舰船电磁场分布模拟［8～10］。本文正是以水平直流电偶极子对场源进行模拟，以求得舰船水下标量电位的表达式。目前，已有研究者借助镜像法推导位于海水中的静态电偶极子在全空间中的电场分布表达式［11～13］，但这方面的研究基本都是针对空气—海水—海床平行分层环境来开展的，针对空气—海水—倾斜海床模型开展的研究很少。

真实海洋环境中，特别是在大陆边缘的大陆坡部分，海床是以一定的坡度向海洋底延伸的［14］。以台湾海峡为例，该海峡平均水深60m，东南部海床坡度较大，想要在这些水域对舰船进行探测，则必不可少得要针对空气—海水—倾斜海床模型开展研究。海军工程大学的熊露虽针对空气—海水—倾斜海床模型，推导出了电场分布的解析表达式［15］，但推导出的电场分布的解析表达式比较复杂，难以满足工程应用的需要。据此本文以水平直流电偶极子模拟场源，针对空气—海水—倾斜海床三层模型，利用静电场的镜像法，推导出了海水中的水平直流电偶极子在海水、空气及海床中产生的标量电位分布的解析表达式。所得表达式满足唯一性定理，可满足工程应用的需要。工作为进一步研究舰船水下腐蚀相关电场的场分布问题奠定了基础，同时为舰船目标的探测提供了新的思路。

2 半无限大空间中任意直流电偶极子标量电位分布的镜像法求解

2.1 存在海水与空气分界面

若存在海水与空气的分界面，如图1所示，分界面取为z=0平面。ε、σ分别表示媒质的电容率和电导率，下标0、1分别代表空气、海水场域。任意方向电偶极子Pe=Idl位于海水中(x0,y0,z0)处，与z=0平面所成的角度为，并且规定：电偶极子沿顺时针方向旋转θ后与z=0平面平行，则θ取正。场点位于(x,y,z)。

图1 存在空气—海水分界面时镜像法求任意方向电偶极子在海水中的场

将任意方向偶极子源Idl（偶极子平行于y=0平面）分解为水平电偶极子Idxi（偶极子方向平行于x方向）和垂直电偶极子Idzk（偶极子方向平行于z方向），即：

当场点位于海水中时，即z≤0，Idxi的像I′dxi位于(x0,y0,-z0)处，电偶极矩为I′dxi=Idlcosθi；Idzk的像I′dzk位于 (x0,y0,-z0)处，电偶极矩为I′dzk=-Idlsinθk。

其中：

2.2 存在海水与海床分界面

若存在海水与海床的分界面，如图2所示，分界面取为z=0平面。下标1、2分别代表海水、海床场域。设任意方向电偶极子Pe=Idl仍位于海水中(x0,y0,z0)处，与z=0平面所成的角度为，并且规定：电偶极子沿顺时针方向旋转θ后与z=0平面平行，则θ取正。场点位于(x,y,z)。设

图2 存在海水—海床分界面时镜像法求任意方向电偶极子在海水中的场

具体求解过程同2.1节，可求得：

当场点位于海水中时，即z≥0，Pe的像位于(x0,y0,-z0)处，且电偶极矩为ηIdlcosθi-ηIdlsinθk，场点(x,y,z)处的标量电位为

当场点位于海床中时，即z≤0，Pe的像位于(x0,y0,z0)处，和源位于同一位置，两者合起来相当于电偶极子，且 电 偶 极 矩 为场 点(x,y,z)处的标量电位为

3 空气—海水—倾斜海床下水平直流电偶极子的标量电位分布

3.1 海水区域中的场

当待求场点位于海水中时，水平直流电偶极子在两个界面之间不断“镜像”，场点处产生的场可以用图3所示的无穷多个镜像电偶极子在无限大的海水空间分别产生的场的叠加来代替。

图3 场点在海水中时的像分布

则位于海水中场点(x,y,z)处的标量电位为全空间所有电偶极子的标量电位的和，即：

其中：r0k表示场点相对于空气中第k个像位置坐标的位置矢量，

r2k表示场点相对于海床中第k个像位置坐标的位置矢量，

将式（6）、（7）带入式（8）可得：

3.2 空气和海床区域中的场

由前可知，存在两个分界面时海水中的一个水平直流电偶极子在海水中产生的场分布，等同于只存在空气—海水一个分界面时，海水中下述电偶极子在海水中产生的场分布。

设(xka,yka,zka)表示海水里第k个源的位置坐标，Pka表示其偶极矩，k=0,1,2…，则源的位置及相应的电偶极矩为

图4 场点在空气中时的等效场源

因此，如图4所示，求存在两个分界面时海水中的一个水平电偶极子在空气中产生的场分布，等于求只存在空气—海水一个分界面时，海水中上述电偶极子在空气中产生的场分布。结合第2节的结论，空气中场点(x,y,z)处的标量电位为

其中：rka表示场点相对于海水中上述各电偶极子位置坐标的位置矢量

同理可求得海床中场点(x,y,z)处的标量电位为

其中：rkb表示场点相对于海水中上述各电偶极子位置坐标的位置矢量

3.3 标量电位表达式正确性的证明

由式（10）、式（11）和式（12），易证：

同理，Φ海床的正确性也可以得到证明。可见，推导出的标量电位表达式满足分界面两边标量电位及电流密度的法向分量连续的边界条件。由唯一性定理可知，本文推导标量电位表达式的方法可行，结果正确。

4 结语

本文为推导倾斜海床下舰船水下标量电位的表达式，以水平直流电偶极子对舰船场源进行模拟，利用静电场的镜像法，通过求解半无限大空间中任意直流电偶极子产生的标量电位分布表达式，进而求得空气—海水—倾斜海床三层模型下，场源和各镜像源的场点坐标及相应的偶极矩，线性叠加场源和各镜像源在场点产生的标量电位，从而推导出了三层模型下海水中的水平直流电偶极子在海水、空气及海床中产生的标量电位分布表达式，并对所得表达式的正确性进行了证明。

结论如下：

1）因为推导出的标量电位表达式满足分界面两边标量电位及电流密度的法向分量连续的边界条件，所以由唯一性定理可知，镜像法可用于倾斜海床下标量电位表达式的推导，且推导出的结果正确。

2）所推导出的标量电位表达式，能满足工程应用的需要，便于后续实际应用。