例谈平面向量的数量积的应用

刘立强 杜红全

摘 要：本文通过举例说明利用平面向量的数量积可以求解向量的长度、两向量夹角、两向量垂直、参数的取值范围、判断三角形的形状等问题.

关键词：平面向量;数量积;应用

平面向量的数量积是平面向量的重要内容，也是高考命题的一个热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直等问题.下面举例说明平面向量的数量积常见的几种应用.

1 求向量的长度（模）

例1 已知向量a→，b→，c→两两所成的角相等，均为120°，且|a→|=2，|b→|=3，|c→|=1，求向量a→+b→+c→的长度.

分析 由公式|a→|=a→2得|a→+b→+c→|=（a→+b→+c→）2，再利用条件即可求解.

解析 因为已知向量a→，b→，c→两两所成的角相等，均为120°，且|a→|=2，|b→|=3，|c→|=1，所以a→·b→=|a→|·|b→|cos120°=-3，b→·c→=|b→|·|c→|cos120°=-32，a→·c→=|a→|·|c→|cos120°=-1.

所以|a→+b→+c→|2=（a→+b→+c→）2

=a→2+b→2+c→2+2a→·b→+2b→·c→+2a→·c→

=|a→|2+|b→|2+|c→|2+2a→·b→+2b→·c→+2a→·c→

=4+9+1-6-3-2

=3.

所以|a→+b→+c→|=3.

點评 根据题意先求|a→+b→+c→|2的值是求|a→+b→+c→|的关键.

2 求两向量夹角

例2 已知a→，b→是两个非零向量，且|a→|=|b→|=|a→-b→|，求a→与a→+b→的夹角.

分析 求a→和a→+b→的夹角，一般应先计算|a→|，|a→+b→|及a→·（a→+b→），然后利用变形公式cosθ=a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|及条件求解.

解析 由|a→|=|b→|=|a→-b→|得，|a→|2=|b→|2，|b→|2=|a→|2-2a→·b→+|b→|2.

所以a→·b→=12|a→|2.

又因为|a→+b→|2=|a→|2+2a→·b→+|b→|2=2|a→|2+2×12|a→|2=3|a→|2，所以|a→+b→|=3|a→|.

设a→与a→+b→的夹角为θ，则cosθ=a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|=|a→|2+12|a→|23|a→|2=32.

又因为0°≤θ≤180°，所以θ=30°.

点评 解本题的关键是建立a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|与条件式的联系，故应该先算出a→·（a→+b→）与|a→|·|a→+b→|.本题还有其他解法.

3 两向量的垂直问题

例3 已知|a→|=5，|b→|=4，且a→与b→的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka→-b→与a→+2b→垂直？

分析 利用向量垂直的充要条件（ka→-b→）·（a→+2b→）=0及数量积的运算性质，列出关于k的方程即可.

解析 若要向量（ka→-b→）⊥（a→+2b→），则需（ka→-b→）·（a→+2b→）=0.

即k|a→|2+（2k-1）a→·b→-2|b→|2=0.

所以52k+（2k-1）×5×4×cos60°-2×42=0.

解得k=1415.

即当k=1415时，向量ka→-b→与a→+2b→垂直.

点评 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a→⊥b→a→·b→=0，这是一个重要性质，它把垂直问题转化为代数计算问题.

4 判断三角形的形状

例4 在ΔABC中，已知BA·CA>0，BC·AB<0，CB·CA>0，判断ΔABC的形状.

分析 由已知条件根据角来判断三角形的形状.

解析 根据向量数量积及两个向量的夹角定义，可得BA·CA=|BA|·|CA|cosA，

BC·AB=|BC|·|AB|cos（π-B）=-|BC|·|AB|cosB，

CB·CA=|CB|·|CA|cosC.

又因为BA·CA>0，BC·AB<0，CB·CA>0，所以cosA>0，cosB>0，cosC>0.

所以∠A，∠B，∠C均为锐角.

所以ΔABC为锐角三角形.

点评 根据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系.

5 求参数的取值范围

例5 已知|a→|=2，|b→|=3，a→与b→的夹角为45°，求向量a→+λb→与λa→+b→的夹角是锐角时，λ的取值范围.

分析 根据向量a→+λb→与λa→+b→的夹角是锐角，则有（a→+λb→）·（λa→+b→）>0且（a→+λb→）与（λa→+b→）不共线，列出关于λ的不等式即可.

解析 因为向量a→+λb→与λa→+b→的夹角是锐角，所以（a→+λb→）·（λa→+b→）>0且（a→+λb→）与（λa→+b→）不共线.

即λa→2+（λ2+1）a→·b→+λb→2>0，且λ≠±1.

又|a→|2=2，|b→|2=9，a→·b→=|a→|·|b→|cos45°=3，所以2λ+（λ2+1）×3+9λ>0，λ≠±1.

所以3λ2+11λ+3>0且λ≠±1.

解得λ<-11-856或λ>-11+856且λ≠1.

点评 两个非零向量a→与b→的夹角为θ（0≤θ≤π），则cosθ=a→·b→|a→|·|b→|.

①a→⊥b→a→·b→=0;

②a→与b→的夹角为锐角，则a→·b→>0;

③a→与b→的夹角为钝角，则a→·b→<0.

运用结论可求当a→与b→的夹角满足：0≤θ≤π时参数λ的取值范围，但要注意a→与b→共线时对应的λ值，否则会出错.

6 证明平面几何题

例6 已知O是ΔABC所在平面内一点，且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2.求证：点O是ΔABC的垂心.

分析 本题考查运用向量的数量积概念及其性质解答三角形中的问题.要证点O是ΔABC的垂心，需证AB⊥OC ，BC⊥OA，即证AB·OC=0，BC·OA=0.

证明 设OA=a→，OB=b→，OC=c→，则BC=c→-b→，CA=a→-c→，AB=b→-a→.

因为|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，

所以a→2+（c→-b→）2=b→2+（a→-c→）2=c→2+（b→-a→）2.

所以c→·b→=a→·c→=b→·a→.

所以AB·OC=（b→-a→）·c→=b→·c→-a→·c→=0，

BC·OA=（c→-b→）·a→=c→·a→-b→·a→=0.

所以AB⊥OC，BC⊥OA.

所以点O是ΔABC的垂心.

点评 设OA=a→，OB=b→，OC=c→，将题设中的条件用a→，b→，c→表示出来，化简得c→·b→=a→·c→=b→·a→是解本题的关键.

（收稿日期：2019-12-07）