用图象法巧解复合函数的零点问题

郑金

摘 要：本文归纳了复合函数的分解方法，并对有关复合函数零点问题利用内层函数图象与外层函数图象相结合的方法进行了巧妙解答.

关键词：复合函数;零点;图象;分解

对于双层复合函数的零点问题，其难度要比单一函数的零点问题大得多，但只要理解和掌握解答这类问题的通法和技巧，就能化难为易.解题的一般思路是：首先把复合函数分解为单一函数，然后求出外层函数y=g（t）的零点，再求出内层函数t=f（x）的零点，即为复合函数y=g[f（x）]的零点.有时需要求出零点，有时不必求出零点，而是判断零点的个数;有时题中给出零点的个数，要求参数的取值范围.对于复合函数零点问题，可借助y-t图象和t-x图象，利用数形结合的方法进行解答，比较直观简便.

例1 已知函数f（x）=2x+1，x≤0，|lnx|，x0，则方程f[f（x）]-12=0的根的个数为.

解法1 （常规解法）令t=f（x），则f（t）-12=0.

先求外层函数y=g（t）=f（t）-12的零点，即解方程g（t）=f（t）-12=0.

由2t+1-12=0可得t1=-14;

由lnt-12=0可得t2=e-12或t3=e12.

再求内层函数t=f（x）的零点，即解方程f（x）=-14，f（x）=e-12和f（x）=e12.

由f（x）=-14可知，2x+1=-14，可得x=-58，只有1个根;

由f（x）=e-12可知，2x+1=e-12或lnx=e-12，可得3个根;

由f（x）=e12可知，2x+1=e12或lnx=e12，其中2x+1=e12无解，由lnx=e12可得2个根.

所以方程f[f（x）]-12=0的根的个数为6.

解法2 （数形结合法）令t=f（x），由f（t）-12=0得f（t）=12.

由于y=f（x）与y=f（t）的图象形状是相同的，因此可在同一坐标系中分别作出y=f（t）的图象和直线y=12，如图1所示，可知有3个交点，即方程f（t）-12=0有3个根.

由图可见，交点的横坐标有1个为负值，设为t1，有2个为正值，其中一个小于1，设为t2，另一个大于1，设为t3.

再作出函数t=f（x）的图象和直线t=t1，t=t2，t=t3，如图2所示.

由图可知，共有6个交点，表明方程f[f（x）]-12=0有6个根.

评注 求f[f（x）]-12=0根的個数，实际是求复合函数y=f[f（x）]-12零点的个数，先解方程f（t）-12=0，求出外层函数y=f（t）-12的零点，再解方程f（x）=t，求出内层函数t=f（x）的零点.但对于该题不必求出各根的具体数值，只需利用图象法判断横坐标取值的正负及范围，求出交点的位置及个数即可.在利用图象法求外层函数y=g（t）=f（t）-12的零点时，不是作y=g（t）的图象求零点，而是作y=f（t）的图象与直线y=12求交点，这样比较简便.

拓展 对于例题1而言，若方程f[f（x）]=a有5个零点，则a的取值范围是.

解析 令t=f（x），则f（t）=a，由图2可知，t取不同值时，方程t=f（x）根的个数为1，2或3.

由于方程f[f（x）]=a有5个零点，则方程t=f（x）根的个数只能为2或3，可知t应有两个值，而且都大于零.

由图1可知，为了使t的两个值都大于零，y=f（t）=a的值应该大于1，即a>1.

例2 定义在R上的函数f（x）=1x-2，x≠2，1，x=2，若关于x的函数h（x）=f2（x）+af（x）+12有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x21+x22+x23+x24+x25等于（ ）.

A.15B.20C.30D.35

解析 令t=f（x），则y=g（t）=t2+at+12.作出t=f（x）的图象，如图3所示.

只有当t=1时，该水平直线才与t=f（x）的图象有3个交点，此外，还需有一条水平直线t=b（b≠1且b>0）与t=f（x）的图象有2个交点.

把y=0，t=1代入y=g（t）中，可得a=-32.

由方程g（t）=0，即t2-32t+12=0，解得t=1或t=12.

当t=1时，由t=f（x）解得x1=1，x2=2，x3=3;

当t=12时，由t=f（x）解得x4=0，x5=4.

可知x21+x22+x23+x24+x25=30.故选C.

评注 解题的关键是利用反比例函数以及图象平移知识作出函数t=f（x）的图象，该题不需作出二次函数y=t2+at+12的图象，但需求出外层函数的两个零点以及内层函数的5个零点.

拓展 对于例题2而言，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=3有3个不同的实数解x1，x2，x3，且x1

A. x21+x22+x23=14B. a+b=2

C.a·b=-8D. x1+x3>2x2

解析 令t=f（x），则y=t2+at+b-3.

作出t=f（x）的图象如图3所示，只有当t=1时，该水平直线才与t=f（x）的图象有3个交点，由于x1

把y=0，t=1代入y=g（t）可得a+b=2.

由于t取唯一值t=1，则y=t2+at+b-3的图象与横轴相切，可知对称轴为1，即-a2=1，则a=-2，b=4.因此a·b=-8.故选项A，B，C正确，选项D错误.故选D.

例3 已知函数f（x）=x+1x，x>0，x3+3，x≤0，则方程f（2x2+x）=a（a>2）的根的个数不可能为（ ）.

A. 3B. 4C. 5D. 6

解析 令t=2x2+x，则f（t）=a.

由于y=f（t）与y=f（x）的图象形状是相同的，可分别在两个坐标系中作出函数y=f（t）的图象与函数t=2x2+x的图象，如图4，5所示.

下面讨论f（t）=a的根的个数.

当y=a>3时，水平直线t=a与y=f（t）的图象有2个交点，对应的横坐标都为正值，即f（t）=a有2个正根t1，t2.

两条水平直线t=t1，t=t2分别与抛物线有2个交点，共有4个交点，即f（2x2+x）=a有4个根;

当y=a=3时，水平直线t=a与y=f（t）的图象有3个交点，对应的横坐标一个为零，另外两个都为正值，即f（t）=a有3个根t0，t1，t2，可知三条水平直线t=t0，t=t1，t=t2分别与抛物线有2个交点，共有6个交点，即f（2x2+x）=a有6个根;

当2

假设t1<0，t2，t3都大于零，若t1>-0.125，则f（t）=a的3个根对应的水平直线分别与抛物线有2个交点，共有6个交点，即f（2x2+x）=a有6个根;

若t1=-0.125，则f（t）=a的3个根对应的水平直线与抛物线共有5个交点，即f（2x2+x）=a有5个根;

若t1<-0.125，则f（y）=a的3个根对应的水平直线与抛物线共有4个交点，即f（2x2+x）=a有4个根.

综上可知，故选A.

评注 在利用图象法求外层函数y=g（t）=f（t）-a的零点时，不是作y=g（t）的图象求零点，而是作y=f（t）的图象与直线y=a求交点，这样比较简便.在画函数y=f（t）的图象时，由于是分段函数，则需分别画出不同区间内的三次函数的图象和对勾函数的图象，因此需掌握这两个函数的单调性，以便标出函数的极值点，借此来讨论参数a和t的取值范围.

例4 已知f（x）=x2-2x-1，若函数g（x）=f（|ax-1|）+k|ax-1|+4k（a>1）有3个零点，则实数k的取值范围是.

解析 令t=|ax-1|，t≥0，则有y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1.

作出函数t=|ax-1|的图象，如图6所示.由于函数y=g（x）有3个零点，即有3个x使得g（x）=0成立，则方程y=h（t）=0应有两个不同的实数解t1和t2，即在图6中对应的两条水平直线与函数t=|ax-1|的图象有3个交点，下面对t取不同值的情况进行讨论.

若t1=0，则由y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1=0可得k=14，此时y=h（t）=t2-74t，可得t2=74>1，那么，t1和t2对应的两条水平直线与曲线只有两个交点，不符合题意.

若t1=1，则由y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1=0可得k=25，此时y=h（t）=t2-85t+35，可得t2=35，那么，t1和t2对应的两条水平直线与曲线共有3个交点，符合题意.

若t1>1且0

由于函数y=h（t）=t2+（k-2）t+4k-1的图象是开口向上的抛物线，可知h（0）>0且h（1）<0，解得14

综上可知，实数k的取值范围是14

评注 对不同的t值进行讨论时，先确定一个特殊值，求出k的值以及t的另一个值，并判断是否符合题意;然后确定符合题意的两个t值，由特殊值法求出k的取值范围;最后求并集，得到结果.

例5 讨论函数y=x2-6x+1x2-6x+m在区间（0，+

）上零点的个数.

解析 原函数为y=（x+1x）2-6（x+1x）+m-2.

设t=g（x）=x+1x，则y=f（t）=t2-6t+m-2.

对于复合函数y=f[g（x）]的零点，可以分层进行研究.内层函数t=g（x）=x+1x是对勾函数，当x=1时，t取最小值为2，在区间（0，+

）上的图象如图7所示.

外层函数y=t2-6t+m-2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为t=3.由Δ=36-4（m-2）≥0可得m≤11.

当m取不同数值时，相当于抛物线沿对称轴纵向移动.当m>11时，抛物线位于横轴上方，t不存在，则函数y=f[g（x）]没有零点.

当m=11时，抛物线顶点与横轴相切，t取唯一值t=3，直线t=3与t=g（x）的图象有2个交点，则复合函数y=f[g（x）]有2个零点.

方程t2-6t+m-2=0的一个较小的根为t1=6-Δ2=3-11-m.

当3-11-m=2时，可得m=10.抛物线与横轴相交于两点，即t取两个值t1=2，t2=4，可知复合函数y=f[g（x）]有3个零点.

当10

当0<3-11-m<2时，即当2

评注 解题的关键是把复杂的函数关系式进行变形，然后分解为两个比较简单的函数.对于外层函数，需根据判别式确定零点的有无以及个数，在判断t1，t2两个零点的取值范围时，需先确定t1=2和t2=4，然后通过沿对称轴t=3上下移动抛物线，即可确定t1，t2的取值范围.之所以求出外层函数较小的根进行讨论，是因为内层函数存在最小值.

例6 已知f（x）=x2e2x+mxex+1（x∈R）有4个零点，则m的取值范围是.

解析 设t=g（x）=xex（t≥0），则有y=t2+mt+1.

对于函数y=g（x），由于g（0）=0，则图象经过坐标原点.当x>0时，g（x）>0;当x<0时，g（x）<0.当x→+

时， g（x）→+

;当x→-

时，g（x）→0.

由于g′（x）=（x+1）ex，可知当x=-1时，g（x）=xex存在最小值-1e，由此画出y=g（x）的图象如图8所示，由对称性可知t=g（x）=xex的图象如图9所示.

外层函数y=t2+mt+1的图象是开口向上的抛物线，需方程t2+mt+1=0有两个不同的根，而且01e，才能与函数t=g（x）=xex的图象有4个交点.

由于0

，-e-1e）.

评注 解题的关键是把复合函数分解为两个单一函数，难点是画出内层函数t=g（x）=xex的大致图象，而且需利用导数知识确定函数的极值点.

总之，在解答有关复合函数零点个数问题时，要把复合函数分解为两个单一函数，即内层函数与外层函数，并且大致画出两个函数的图象，然后通过外層函数零点对应的直线与内层函数图象交点的个数来判断复合函数零点的个数.在分解函数和画图象时，要注意内层函数与外层函数的符号不能混同，或者说，要注意内层函数图象与外层函数图象的横纵坐标的符号具有一定的对应性，一般来说，内层函数图象的纵坐标符号用t表示，横坐标符号用x表示，而外层函数图象的纵坐标用y表示，横坐标用t表示，即内层函数图象的纵坐标与外层函数图象的横坐标用有别于x，y的同一个字母来表示，从而将内外层函数联系起来.

参考文献：

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[2]张伟钦.复合函数零点问题举例[J].高中数理化，2016（Z2）：10-11.

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（收稿日期：2019-12-09）