“化归法”在高等数学教学中的应用

涂媛媛

摘 要：化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。文章通过高等数学教学实践，探索化归法在求极限、求导、求积分中的应用，并阐明化归法的类型和使用原则。

关键词：化归法;高等数学;應用原则

一、引言

“化”代表转化，“归”代表归结。化归是一种解题思想，更是一种有效的数学思维方式，在探究数学问题时，人们通常并不会直接按部就班往下写，而是通过巧妙地转化或者变形等，使之往熟悉的内容上靠拢，即将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

匈牙利数学家罗莎曾对化归法做过形象的解释：“你想烧水，现有火柴、煤气灶、水龙头，还有水壶，应怎么去做？”有人答：“打开水龙头，水壶接水，再用火柴点燃煤气灶，最后放上装满水的水壶。”又问：“若水壶中已经装满水，其余条件不变，接下来该怎么办？”有人答：“直接点燃煤气将水壶放上。”罗莎点了点头说道：“对，但这是物理学家的做法，数学家则会将水壶中的水倒掉，就回归到了开始的问题。”罗莎的举例很清晰地展示了化归法的实质。

二、化归法概述

化归法运用的范围很广，使用的方式千差万别，自然其分类也多种多样，不同的分类也就有不同的用法。

首先，根据待解决问题的属性划分，能够分成证明中的化归法和计算中的化归法，还有构建新科目体制中的化归法，等等。

其次，根据使用的领域划分，则有内部和外部之分。内部的化归法即为两类数学问题间的转化，外部的化归法则为实际问题向数学问题的转化。

再次，根据使用的广度和维度划分，则有单维、二维、多维和广义之分。单维的化归法指适用于单一学科体系内的化归;二维化归法的变换为两种相异数学支系间的转化;多维的化归法是横跨诸多数学支系，为诸多学科体系所适用的化归，像换元法、待定系数法等;广义的化归法则表示越过数学界限的化归法，像数学建模法等。

最后，常见的化归方法有瓜分法、求变法、映射法和极端化法等。

瓜分法就是将某个待解答的问题瓜分为几个简单、熟悉的小问题，然后逐个求解这些小问题的方法。

求变法是化归法的一种重要手段，包括等价变形法、分步变形法、参数变形法、换元变形法等方法。

映射法就是通过映射把原来的问题A转化成问题B，接着求得问题B的解，然后利用逆映射解出原题。

极端化法是指解决某些数学问题时用极端的思维去考虑，使之得到易解决或已知的问题，再推得原题的解的方法。此种问题一般是多种情形的，单考虑原题并不能看出，需发挥联想去建构出。

在高等数学教学中，化归思想随处可见。下面，笔者就高等数学教学在求极限、求导、求积分方面如何应用化归法作初步探索。

化归的进行并非是百无禁忌的，化归流程应依照下列原则。①熟悉化原则：将原题由陌生化为熟悉，从而变为人们习惯的形式;②浅易化原则：将问题由难化易、由复杂难懂化浅显明了，使之更容易找到思路;③协调化原则：协调化代表和谐的一种体现数学美的状态。在解题时，可以依据题目的条件、结论等将其转变为更协调的数学结构，使之更合乎一般思维; ④直觉化原则：将不直观的、模糊的、隐晦的问题化成直觉的、详尽的、显而易见的题目，使之更易解答;⑤逆反原则：遇到难题从正面完全无法动手时，就要考虑反向或逆向思考。逆水行舟，不进则退，换个角度往往能发现新世界。

六、结语

化归法对高等数学教学的影响是深远的，没有化归思想的使用，高等数学中许多题目或许就是未解之谜，很多解答过程或许就是长篇大论，很多理论体系或许将光怪陆离不再严谨，很多公式也将无从得证……这便是化归法的魅力所在，其影响显著，在高等数学教学中有着不可或缺的地位。

参考文献：

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