移动辐射源AOA-TDOA-FDOA 联合定位闭合解算法

熊 杰，陈 俊，宁 静，曹师齐，杨 海，万洪容

(中国西南电子技术研究所 成都 610036)

辐射源无源定位是雷达[1]、声纳[2]、无线通信网络[3]以及电子对抗[4]等领域中的一个基本问题。针对某一外源辐射源，多平台协同无源定位通常可以采用基于到达角(AOA)的定位体制[5-6]、基于到达时间差(TDOA)的定位体制[7]，以及基于AOATDOA 联合的定位体制[8-9]。当源辐射源运动或者协同平台运动时，到达频率差(FDOA)通常也被加入无源定位算法以提高定位精度[10-12]。另一方面，由于上述几类观测量与辐射源位置成非线性关系，因此辐射源无源定位问题不是一个简单的问题。近年来涌现了多种算法试图解决辐射源无源定位问题，如基于泰勒展开的迭代搜索算法[13]、闭合解定位算法[6-12]等。虽然闭合解定位算法的定位精度容易受到传感器位置误差的影响，但是由于其具有不需要辐射源位置的先验知识且回避了迭代搜索算法常遇到的迭代发散问题的优点，因而备受关注。本文同样将焦点聚于移动辐射源无源定位闭合解算法。

现有的很多无源定位闭合解算法能直接用于电子对抗领域中针对敌方移动辐射源无源定位的问题。文献[8]所提的基于AOA-TDOA 的联合定位闭合解算法忽视了传感器位置误差所带来的影响；而文献[9]所提的基于AOA-TDOA 的联合定位闭合解算法虽然考虑了传感器位置误差的影响，但所提算法只针对双平台协同定位这一特例；文献[7]所提的基于TDOA 的定位闭合解算法以及文献[10-12]所提基于TDOA-FDOA 的联合定位闭合解算法，虽然都考虑了协同平台的位置误差，但均要求参与定位任务的我方协同平台的个数不小于5 个。这一要求限制了上述几种算法在实际作战场景中的应用范围。针对上述问题，在建立移动辐射源位置与各种观测量以及各个传感器位置的近似等式关系的基础上，本文提出一种新的AOA-TDOAFDOA 联合定位闭合解算法。所提算法在保持闭合解框架不变的前提下，不仅考虑了传感器位置误差所带来的影响，同时还能将参与定位的我方平台个数减小至3 个。进一步对所提算法进行理论分析，在观测噪声及传感器位置误差均为高斯噪声并且噪声强度适中时，所提算法的定位误差均方根能达到克拉美罗(CRLB)界。3 平台协同定位仿真实验结果以及对照仿真实验结果验证了上述理论结论。

1 问题描述

假定某时刻有M 个传感器对一移动辐射源开展联合协同无源定位，定位场景如图1 所示。

记移动辐射源在该时刻的三维位置向量为uo=[xo,yo,zo]T，三维速度向量为记该时刻第 i(i =1,2,···,M)个传感器的所在真实位置为，真实速度为一般地，定位算法并不能获取上述传感器的真实坐标与真实速度，而只能获取传感器所在平台的导航设备提供的位置向量与速度向量。记该时刻导航设备给出的第i个传感器的所在位置为 si= [xi,yi,zi]T，速度为

为简便行文，将各传感器的位置向量与速度向量收集在一起，并记为， 其中若记传感器位置误差向量为 ∆β ，那么， 其中，∆s=一般地， ∆β通常认为是零均值的高斯向量，其协方差矩阵为 Qβ。

设1 号传感器为参考传感器，那么该时刻则有M−1 个TDOA 观测量作为无源定位算法的输入。 ri1为第 i(i =2,3,···,M)个传感器与第1 个传感器之间的TDOA 观测量。一般地，其中 ni1为 测量噪声，为第i 个传感器与第1 个传感器之间的TDOA 真值，并且有，其中代 表该时刻移动辐射源与第k(k=1,2,···,M)个传感器之间的欧氏距离。记在该时刻M−1 个TDOA 观测向量为r = [r21,r31,···,rM1]T，则r = ro+nt，其中为TDOA 真实值向量，nt=[n21,n31,···,nM1]T为对应的观测噪声向量。假设噪声向量 nt为零均值、协方差矩阵为 Qt的高斯分布向量，并且与传感器位置误差向量 ∆β、方位角噪声向量 nθ以 及高低角噪声向量 nϕ统计独立。

同样地，设1 号传感器为参考传感器，那么该时刻则有M−1 个FDOA 观测量作为无源定位算法的输入。为 第 i(i =2,3,···,M)个传感器与第1 个传感器之间的 FDOA 观测量。一般地，其中为 测量噪声，为第i 个传感器与第1 个传感器之间的FDOA 真值，并且有记在该时刻M−1 个FDOA 观测向量为则为FDOA 真实值向量，为对应的观测噪声向量。假设噪声向量 nν为 零均值、协方差矩阵为 Qν的高斯分布向量，并且与传感器位置误差向量 ∆β、方位角噪声向量 nθ、 高低角噪声向量 nϕ以及TDOA噪声向量 nt统计独立。

需要说明的是，许多文献(如文献[12])在定义TDOA 表达式时将光速c 也包含在内，在定义FDOA 表达式时同时将光速c 和辐射源信号载频fo也包含在内。而这两类定义在已知辐射源信号载频 fo时没有本质区别。因此，本文不特意区分上述两类定义，其含义可由上下文得到。

综上，为简化算法推导，将上述3 类观测量汇集 起 来。记 α= [θT,ϕT,rT,r˙T]T为 该 时 刻 的AOA、TDOA 及FDOA 测量值向量，为对应的观测噪声向量。一般地，观测噪声向量∆α被 建模为零均值、协方差矩阵 Qα为高斯向量，其中 Qα的定义为：

那么，移动辐射源AOA-TDOA-FDOA 联合无源定位算法所涉问题为：已知某一时刻的AOA、TDOA 及FDOA 测量向量 α与传感器位置向量 β，以及二者对应的噪声/误差向量的协方差矩阵 Qα与Qβ，尽可能准确地估计该时刻的移动辐射源位置uo。

2 AOA-TDOA-FDOA 定位算法

移动辐射源AOA-TDOA-FDOA 联合定位算法采用两阶段估计流程。第一阶段，首先建立起移动辐射源位置参数 uo、与 观测向量 α及传感器位置向量 β的伪线性关系，进而得到 uo与粗略估计值；第二阶段，修正第一阶段的粗估计值，从而精确估计出某时刻移动辐射源的位置。

2.1 AOA 观测量线性化

式中， ηθi为测量噪声 nθi以及传感器位置误差 ∆si带来的近似误差。记 gθi=[−sinθi,cosθi,0]T，那么式(4)可以等价表达为：

当测量噪声 nθi很弱时， cos (nθi)≈1及 sin(nθi)≈nθi，及。将上述两近似等式以及带入式(4)，有。再利用图1 中的一个几何关系式并定义，那么有：

式(5)与式(6)分别建立了向量 uo与 方位角 θi之间的近似等式关系，以及近似误差 ηθi与测量噪声nθi及传感器位置误差 ∆si之间的函数关系。

式中， gϕi=[−sinϕicosθi,−sinϕisinθi,cosϕi]T； ηϕi为测量噪声 nϕi以 及传感器位置误差 ∆si带来的近似误差。当测量噪声 nϕi很 弱时，及近似成立，并将上述两近似关系及代入式(7)，忽略二阶误差项，有：

2.2 TDOA 与FDOA 观测量线性化

如文献[10-12]及文献[7]所示，TDOA 观测量 ri1, i(i =2,3,···,M)可以通过如下方式进行线性化处理。首先，对等式的两边同时取平方运算，有：

式中， εt,i代表近似误差，其定义为：

对于FDOA 观测量 r˙i1, i(i=2,3,···,M)的线性化处理方式为同时对式(10)及式(11)的右端对时间求导数[10-12]，即：

2.3 闭合解定位算法

1)第一阶段：粗估计。

记 η=[ηθ1,ηθ2,···,ηθM,ηϕ1,ηϕ2,···,ηϕM]T,εt=，以及，并定义，那么联合式(5)~式(8)、式(10)~式(12)，有：

式中，

式(14)中的矩阵 Oi×j代表 i×j维的全零矩阵，矩阵hθϕ,Gθϕ,ht,hν,Gt,Gν分别定义为：

式中， ⊙表示向量Schur 乘法； 1m×1与 0m×1分别表征m 维取值全1 的列向量与全0 的列向量；Gθ=[gθ1,gθ2,···,gθM]T,Gϕ=[gϕ1,gϕ2,···,gϕM]T；S=[s1,s2,···,sM]T。

解决上述矛盾的一种折中的处理方式是采取两步加权最小二乘计算，即：

2)第二阶段：精估计。

对于第一阶段的参数估计值 φ1，其前三维分量φ1(1:3)是 移动辐射源在某时刻的位置向量 uo的估计值，其第五至第七维分量 φ1(5:7)是该辐射源在该时刻的瞬时速度向量的估计值。但根据最小二乘理论，由式(20)估计得出 φ1的 前提条件是与(uo,u˙o)无 关，但这又与第一阶段估计参数的定义矛盾，因而按照这种方式估计出的移动辐射源的位置向量与速度向量不精确。因此，在第二阶段，本文使用第一阶段的参数估计值 φ1(4)与 φ1(8)来构建另一个最小二乘模型，以提高 uo与估计精度，从而实现对该时刻移动辐射源的无源定位。

记向量 φ1对 应的估计误差向量为 ∆φ1，由于φ1(1:3)=uo+∆φ1(1:3)，则有：

类似地，有：

以及：

基于上面的讨论，第二阶段参数向量可选择为：

联合式(21)～式(24)，有：

式中，

另一方面，针对等式误差 ε2，有：

式中，矩阵 B2,D2的定义如下所示：W2的选取形式[10]，即

一旦得到 φ2， 那么位置向量 uo及 速度向量 u˙o的最终估计值可由以下方式计算得到，即：

式中， Π =diag[φ1(1:3)−s1]；表示对应元素相除。矩阵 Π的存在避免了对 φ2元素开平方时的正负符号模糊问题。

式(32)最终给出了某时刻移动辐射源AOATDOA-FDOA 的联合定位闭合解。下面给出定位解u与对应的协方差矩阵，若记算法给出的定位解向量，那么对式(25)求一阶全微分有：

在第二阶段的估计过程中， s1与被视作常量，因而 ∆s1与未出现在式(33)里。式(28)表明当噪声强度不大时， ε2近似满足零均值，因此式(31)所示的 ∆φ2同样近似为零均值。所以，本文所提的AOA-TDOA-FDOA 联合定位给出的闭合解同样近似满足零均值特性。那么，由式(33)可得定位解向量 Θ的理论协方差矩阵为：

需要指出的是，文献[10-11]分析了基于TDOA与FDOA 观测量的联合定位闭合解算法，其第一阶段估计参数向量与本文选取的向量一致。是8 维向量，因此文献[10-11]所提算法至少需要5 个协同平台参与定位任务，才能按照式(19)及式(20)估计。而在实际的电子对抗作战过程中难以满足这一条件，本文在继承文献[10-11]所提算法框架的前提下，将AOA 观测量引入定位算法，这就使得实际作战所需的协同平台个数降至3 个，既节约了定位成本，也提高了无源定位闭合形式算法的战场生存能力。

3 理论分析

上节详细讨论了某时刻移动辐射源AOA-TDOAFDOA 的联合定位闭合解，本节将对上述算法进行理论分析，并给出其估计误差的理论误差下界，即CRLB 界。

AOA、TDOA 以及FDOA 测量值向量 α与传感器位置和速度向量 β均服从高斯分布，并且两者独立，因 此 数 据 向 量 µ =[αT,βT]T与 参 数 向 量的概率密度函数为：

式中，

由向量求导定义可知，式(37)中的偏导∂αo/∂Θ与∂ αo/∂β 实质是向量 αo对 向量u、 向量、 向量 s及向量求偏导，即有：

以及：

下面逐一给出式(38)、(39)中每个偏导矩阵的具体表达式。根据定义有OM×3以 及=OM×3M,=OM×3M。记λi,κi,(i=1,2,···,M)，具有如下表达形式：

那 么，∂θo/∂u=[λ1,λ2,···,λM]TAu1,∂ϕo/∂u=[κ1,κ2,···,κM]TAu2,∂θo/∂s=diag(Au1)As1,∂ϕo/∂s=diag(Au2)As2。

记 E3M×3=[I3×3,···,I3×3]T，并定义两个(M−1)×3M 的矩阵 C1与 矩阵 C2，其第 i(i =1,2,···,M −1)行的定义为：

综合上述各个偏导矩阵，那么式(38)与式(39)所表征的偏导矩阵的具体表达形式为：

将式(43)代入式(37)，即可得6M+6 维方阵CRLB(ϑ)的具体形式。

由矩阵求逆引理可得移动辐射源位置及速度参数 Θ的CRLB 界，即：

式中， X−1表示当测角与时差/频差传感器不存在位置误差及速度误差时的参数Θ 的CRLB 界，因此式(44)中的第二项表征了由测角与时差/频差传感器位置及速度误差引起的参数 Θ的CRLB 界的增量部分。式(44)的迹表征了任一种多平台AOA-TDOA-FDOA联合定位算法的估计误差均方根的下界。

文献[10]已证明，当TDOA 与FDOA 测量误差与传感器位置与速度误差都服从高斯分布并且噪声不大，并且传感器距离辐射源较远时，定位解向量 Θ的理论协方差矩阵 cov (Θ)能达到其理论误差下界。基于类似的证明过程，当无源定位算法加入AOA 观测量后，本文所提算法所给出定位解向量Θ的理论协方差矩阵 cov (Θ)也能达到对应的CRLB界。由于篇幅限制，在此省略这一结论的推导过程，下面将给出仿真实验，验证本文提出算法的均方根误差在噪声不大时同样能达到CRLB 界。

4 数值仿真

例。移 动 辐 射 源 初 始 位 置 为[57 891, −12 536,125]T(单位为m，下同)，初始速度为 [12 ,30,0]T(单位为m/s，下同)；协同平台主站初始位置为[5 000，1 500,3 500]T，初始速度为 [12 0,−20,0]T；协同平台辅站1 的初始位置为 [21 500,15 000,5 800]T，初始速度为 [13 0,0,0]T；协同平台辅站2 的初始位置为[20 500,−45 000,5 800]T， 初 始 速 度 为 [1 10,50,0]T。辐射源载波频率为1.1 25×109Hz。为评价无源定位算法的定位精度，本文采用均方根误差为评价标准，其定义为：

为验证本文提出的移动辐射源AOA-TDOAFDOA 联合定位闭合解算法的性能，本节首先给出一组3 平台协同定位一个移动辐射源位置的仿真实

式中， MS E为某时刻无源定位所估计的辐射源位置的均方根误差； uo为该时刻移动辐射源真实位置；ui为第i 次独立仿真实验所估计的辐射源位置；N 为独立仿真实验次数。需要指出的是，在N 次独立仿真实验过程中，每次仿真中辐射源移动轨迹以及每个平台的真实运动轨迹都一致。本节后续部分将首先以此为基础给出几组仿真实例，验证本文所提算法在各种噪声强度下的定位能力；然后再给出两组对比实验，说明本文所提算法在定位精度与定位时间等方面较其他已有定位算法所具备的优势。

4.1 平台位置误差与定位精度关系

为验证本文所提算法对平台位置误差的适应能力，在这组仿真中将3 架空中平台的图1 中x、y、z 向上的位置误差标准差变化范围同时设置为10−2～105m，所有平台图1 中x、y、z 向上的速度误差标准差固定为0.2 m/s，并且将所有AOA 测量噪声标准差均固定为3°，所有TDOA 测量噪声标准差均固定为100 ns，以及所有FDOA 测量噪声标准差均固定为100 Hz。5 000 次独立仿真形成的均方根定位误差曲线如图2 所示。为直观说明本文所提算法对平台位置误差的适应能力，每种设置下的定位误差理论下界(即式(44)所示的 CR LB(Θ)矩阵的前3 个对角元素和的平方根)也同时绘制在图2 中。

图2表明当所有协同平台在图1 中x、y、z这3 个方向的位置误差标准差均不超过5×103m时，本文所提算法在3 平台协同定位场合下的均方根定位误差能达到对应的CRLB 界。

4.2 AOA 测量噪声与定位精度关系

为验证本文所提算法对测角噪声强度的适应能力，在这组仿真中，将每个平台的方位角测量噪声标准差变化范围同时设置为10−2°～102°，而所有平台在图1 中x、y、z 向的位置误差标准差都固定为5 m、速度误差标准差都固定为0.2 m/s，并且将所有高低角测量噪声标准差均固定为3°，所有TDOA测量噪声标准差均固定为100 ns，所有FDOA 测量噪声标准差均固定为100 Hz。5 000 次独立仿真形成的均方根定位误差曲线如图3 所示。同时为直观说明本文所提算法对测角噪声强度的适应能力，每种设置下的CRLB 界也同时绘制在图3 中。

图3表明当所有协同平台所测得的方位角的测量误差标准差不大于20°时，本文所提算法在3 平台协同定位场合下的均方根定位误差能达到对应的CRLB 界。

4.3 TDOA 测量噪声与定位精度关系

为验证本文所提算法对TDOA 噪声强度的适应能力，在这组仿真中，将每个TDOA 测量噪声标准差变化范围同时设置为10−2～106ns，所有平台在x、y、z 向的位置误差标准差都固定为5 m，速度误差标准差都固定为0.2 m/s，并且将所有方位/高低角测量噪声标准差均固定为3°，所有FDOA测量噪声标准差均固定为100 Hz。5 000 次独立仿真形成的均方根定位误差曲线如图4 所示。同时为直观说明本文所提算法对TDOA 测量噪声强度的适应能力，每种设置下的CRLB 界也同时绘制在图4 中。

图4表明当所有TDOA 观测量的测量噪声标准差不大于105ns 时，本文所提算法在3 平台协同定位场合下的均方根定位误差能达到对应的CRLB 界。

4.4 FDOA 测量噪声与定位精度关系

为验证本文所提算法对FDOA 噪声强度的适应能力，在这组仿真中，将每个FDOA 测量噪声标准差变化范围同时设置为10−2～104Hz，所有平台在x、y、z 向的位置误差标准差都固定为5 m，速度误差标准差都固定为0.2 m/s，并且将所有方位/高低角测量噪声标准差均固定为3°，所有TDOA测量噪声标准差均固定为100 ns。5 000 次独立仿真形成的均方根定位误差曲线如图5 所示。同时为直观说明本文所提算法对FDOA 测量噪声强度的适应能力，每种设置下的CRLB 界也同时绘制在图5 中。

图5表明当所有FDOA 观测量的测量噪声标准差不大于200 Hz 时，本文所提算法在3 平台协同定位场合下的均方根定位误差能达到对应的CRLB 界。

5 结 束 语

针对移动辐射源TDOA-FDOA 联合无源定位闭合解算法需要至少5 个协同平台参与一次定位任务的问题，本文将AOA 观测量引入，提出一种新的基于AOA-TDOA-FDOA 的联合定位闭合解算法。本文所提算法在兼顾平台位置不确定性以及保持代数闭合解框架不变的前提下，能将参与定位的平台个数有效地减少至3 个。同时，理论分析与仿真实验结果都表明所提算法在面对工程上常见的噪声强度时，定位性能可以达到理论误差下界。这表明，本文所提算法既能拓宽算法的战场应用范围，也能提高算法的战场生存能力。