高考数学题中蕴含的转化与化归思想

陈香君　汤强

摘 要：基于转化与化归思想是数学中最基本的思想之一，对其范畴中的换元法，数形结合法，构造法，坐标法，反证法，特殊值法，等价转化法等七种方法在高考中的应用进行了举例和分析，以此体会高考数学题中蕴含的转化与化归思想。

关键词：高考数学;转化与化归思想;数学题

一、 转化与化归思想简述

数学中的转化与化归思想意为：在解决数学问题时，根据题目中给出的已知条件及要求解的未知问题，按照一定的原则将未知问题向已知条件进行转化从而解决问题。转化与化归思想的实质主要是对数学命题进行变更，将新命题转化为与原命题价值相当的命题，进而使数学问题得到解决。可以说，数学解题就是转化问题。下面以近年来一些高考题为例，分析七种常见的方法，体会其中蕴含的转化与化归思想。

二、 转化与化归思想在高考题中的具体体现

（一）换元法

换元法是常见的转化方法，通过换元可将式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

【例1】 （2016年高考数学上海理科第12题）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=1-x2上一个动点，则BP·BA的取值范围是。

解析：由题知，曲线为圆x2+y2=1（y≥0），因为P是曲线上一个动点，所以设P（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π]，则BP·BA=cosθ+sinθ+1=2sinθ+π4+1∈[0，2+1]，所以BP·BA∈[0，2+1]。

点评：本题采用三角换元法，利用已知条件与三角函数知识的联系，将一个代数问题转化为一个三角函数求值域问题，从而简化解题步骤。

（二）数形结合法

数学名家华罗庚曾说过“数离形时少直观，形离数时难入微”。数与形的结合可以使抽象的函数、方程等转化为直观的图形，从而巧解难题。

【例2】 （2018年全国卷Ⅰ理科第9题）已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x>0，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）

A. [-1，0）B. [0，+∞]

C. [-1，+∞]D. [1，+∞]

解析：由题，g（x）存在2个零点，即g（x）=0有两个根，也就是f（x）与y=-x-a有两个交点，故容易想到本题可用数形结合的方法求解，作图1。

图1

由图可知，当y=-x-a在y1=-x+1下方时，f（x）与y=-x-a有两个交点，因此-a≤1，即a≥-1，故选C。

点评：本题运用数形结合将函数零点问题转化为判断图像问题，减少了计算量，体现了数形结合转化的直观，简洁。

（三）构造法

数学中的函数、公式等素来享有结构化、简洁的美誉，构造函数是实现这一目的的重要途径。

【例3】 （2019年高考数学天津理科第8题）已知a∈R，设函数f（x）=x2-2ax+2a，x≤1x-alnx，x>1，若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）

A. [0，1]B. [0，2]C. [0，e]D. [1，e]

解析：由题中所给的是分段函数可知，需对x在不同区间内取值进行讨论。

①当x=1时，f（1）=1-2a+2a=1>0恒成立;

②当x<1时，f（x）=x2-2ax+2a≥02a≥-x21-x恒成立，令g（x）=-x21-x=-[（1-x）-1]21-x=-[（1-x）-2+11-x]≤-2（1-x）11-x-2=0，即g（x）max=0，所以2a≥0，即a≥0;

③当x>1时，f（x）=x-alnx≥0a≤xlnx，令h（x）=xlnx，h′（x）=lnx-1（lnx）2=0x=e，经判断，h（e）=e是 h（x）的极小值，也是最小值，所以a≤e。

综上：a∈[0，e]，故选C。

点评：本题通过构造函数将一个恒成立问题转化为了一个求最值问题，进而联系基本不等式、导数等知识进行求解，达到了简化目的。

（四）坐标法

坐标法以坐标系为工具，将几何问题转化为坐标系内的计算问题，它是用计算方法解决几何问题的一个重要转化途径。

【例4】 （2017年全国卷Ⅱ理科第12题）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（）

A. -2B. -32C. -43D. -1

解析：由于△ABC是等边三角形，邊长和角度都较为特殊，且只知P在平面ABC内，若要求PA·（PB+PC）的最小值，可考虑用坐标的方法。设BC中点为O，连接AO，分别以OC，OA所在方向为x，y轴正半轴，利用向量数量积的坐标运算可得PA·（PB+PC）=2x2+2（y-32）2-32，因此最小值为-32，选B。

点评：本题充分运用了等边三角形的边长、角度特殊的性质，通过建系设点，运用坐标的方法将最值问题进行转化为了二次函数求最值的简单问题，体现了转化思想。

（五）反证法

图2

【例5】 （2016年全国卷Ⅰ理科第22题）如图2，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°，以O为圆心，12OA为半径作圆。

（1）证明：直线AB与⊙O相切;

（2）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明AB∥CD。

解析：（1）略。（2）假设AB与CD不平行，且二者相交于F，由切割线定理得FK2=FC·FD①，因为四点共圆，所以由割线定理，所以FC·FD=FA·FB=（FK+AK）（FK-BK），由于AK=BK，所以FC·FD=（FK+AK）（FK-AK）=FK2-AK2②，由①②知矛盾，所以假设不成立，即AB∥CD。

点评：本题运用反证法，假设AB与CD不平行，运用圆的相关定理导出矛盾，进而证明AB∥CD，体现了“正难则反”的转化思想。

（六）特殊值法

特殊值法是选择题的常用方法，通过取特殊值，进行运算、分析，将原本很难求解或证明的问题转化为了简单的“判断题”。

【例6】 （2019年高考数学天津文科第8题）已知函数f（x）=2x，0≤x≤11x，x>1，若關于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R），恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）

A. 54，94B. 54，94

C. 54，94∪{1}D. 54，94∪{1}

解析：由于本题是选择题，观察四个选项后发现它们的差别在于是否能取到1和54，因此可检验这两个特殊值即可。

当a=1时，若0≤x≤1，则x4+2x-1=0，令t=x∈[0，1]，有t2+8t-4=0，解得t=25-4∈（0，1），则x∈（0，1）;若x>1，则x4+1x-1=0（x>1），解得x=2，排除A，B。同理，当a=54时，若0≤x≤1，解得x∈（0，1）;若x>1，解得x=4，排除C。综上，选D。

点评：本题通过分析可知两个特殊值1和54，分别代入方程计算，再将结果与x的取值范围比较是否符合即可，体现了转化与化归的简洁之美。

（七）等价转化法

需解决的数学问题若直接求解或证明有难度，可用等价转化法，将原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到简化的目的。

【例7】 （2018年高考数学江苏理科第12题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，假设直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么k的最大值是。

解析：圆C的标准方程为（x-4）2+y2=1，则圆C的圆心为（4，0），半径r1=1，由题：设直线y=kx-2上至少存在一点A（x0，kx0-2），使得以A为圆心，半径r2=1的圆与圆C有公共点。要求k的最大值即等价转化求（AC）min≤r1+r2=2，（AC）min即为点C到直线y=kx-2的距离：4k-2k2+1，所以4k-2k2+1≤2，解得0≤k≤43。综上，k的最大值是43。

点评：本题与k有关的是一个存在性条件，不好处理，通过分析题干信息得出其等价命题kmax（AC）min≤2后，问题就立刻变得明确易解。

除此之外，近年来还有很多高考数学题的解法蕴含了转化与化归思想，如参数法、类比法等，有的试题还同时体现多种转化与化归方法，值得我们思考、体会。

参考文献：

[1]张伟.对化归思想的几点思考[J].中学数学教学参考，2015（21）：48-49.

[2]赵静炜.关于高中数学中转化与化归思想的探究[J].科教文汇（下旬刊），2010（6）：104+106.

作者简介：

陈香君，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院;

汤强，教授，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。