巧用伸缩变换 妙解椭圆试题

罗文军 刘娟娟

(1.甘肃省秦安县第二中学 741600；2.甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学 741609)

以下，先给出一些伸缩变换的性质，再运用伸缩变换的性质解一些与椭圆有关的圆锥曲线试题，以期达到对中学生学习伸缩变换起到抛砖引玉的作用.

伸缩变换具有以下性质：

性质1 在变换φ下，点与点的相对位置关系不变，点与曲线的相对位置关系不变，直线与曲线的相交、相切、相离的相对位置关系不变.

性质3若直线l上的两线段成比例，则它变成直线l′上的对应线段仍成比例.

评注课本中提供的解法是利用椭圆参数方程，再运用三角函数求解的，本解法通过伸缩变换，将问题化归为我们熟悉的求圆上的点直线的最小距离问题，令人耳目一新.

(1)求椭圆M的方程；

(2)O为坐标原点，A、B、C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试求△ABC的面积.

评注本题第(2)问运用伸缩变换法求解，主要运用了伸缩变换的性质4，将椭圆的中心与内接三角形重心重合时，求内接三角形的面积问题化归为单位圆的内接正三角形面积问题，运算量小，思路新颖.

评注运用伸缩变换法，结合伸缩变换的性质，将椭圆的内接△ABC的面积的最大值问题化归为单位圆的内接△A′B′C′的面积的最大值问题.

(1)求椭圆的方程；

评注本题第(2)问运用了伸缩变换法，根据伸缩变换的性质，得出OM′与ON′垂直，容易得出△OM′N′的面积，从而得出△MON的面积.

题5 (2018年高中数学联赛甘肃预赛)已知点P为直线x+2y=4上一动点，过点P作椭圆x2+4y2=4的两条切线，切点分别为A,B，当点P运动时，直线AB过定点的坐标是____.

评注本题运用伸缩变换法，将椭圆的切点弦问题化归为单位圆的切点弦过定点问题，从而得出直线AB所过的定点坐标.

评注运用伸缩变换法，将椭圆化为单位圆，再求出四边形OA′P′F′的最大面积，由伸缩变换性质，从而求出四边形OAPF的最大面积.