超拓扑空间上的可乘性质

温 然，张国芳

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

0 引言

1983年，Mashhour与A.A.Allam在《On Supra Topological Spaces》[1]中定义了超拓扑空间：2X的一个子集族μ叫做X上的超拓扑，如果满足下面两个条件：1)X∈μ.2)μ中元素的任意并仍在μ中.偶对(X，μ)称为超拓扑空间，μ中元素称为超开集，超开集的补集为超闭集并研究了这些概念的一些关系.介绍了超拓扑空间中S连续映射和S*连续映射定义，并给出S连续映射和S*连续映射的等价条件.给出了S-T0空间、S-T1空间及S-T2空间，称超拓扑空间X为S-T0空间，如果对于X中不同两点，存在其中一点的超邻域不包含另一点.称超拓扑空间X为S-T1空间，对于X中不同两点x，y，存在两个超开集使得x∈U，y∉U且x∉V，y∈V.称超拓扑空间X为S-T2空间，对于X中不同两点x，y，分别存在x，y的两个超开集U与V，使得U∩V=Ø.

2008年，T.H.Jassim在《On Supra Compactness in Supratopologicol Spaces》[2]中研究了超拓扑空间中超紧空间的性质，得出超紧空间的任何超闭子集是超紧的、任何有限超拓扑空间是超紧的、超紧空间在S*连续映射下的像是超紧的等结论，还定义了超拓扑的笛卡尔积，并证明了两个超紧空间的笛卡尔积是超紧的.

2016年，T.M.AL-shami 在《Some Results Related to Supratopological Space》[3]中给出超闭包算子、超lindelö空间、超正规、超正则及STi-空间的定义，称超拓扑空间X为超正规的，如果对于X中每个超闭集F和每个a∉F，存在超开集G和H，F⊂G，a∈H，有G∩H=Ø.称超拓扑空间X为超正则的，对于X中每个不相交的超闭集F1，F2，存在两个超开集G和H，分别包含F1，F2，有G∩H=Ø.称超拓扑空间X为ST3-空间：如果X既是ST1-空间又是超正规空间.称超拓扑空间X为ST4-空间：如果X既是ST1-空间又是超正则空间.并举例说明超正规空间不具有超遗传性.

1 预备知识

定义1[4]设X是一非空集合，X的一个子集族μ称为X的一个拓扑，如果它满足：

1)X，Ø都包含在μ中.

2)μ中任意多个成员的并仍在μ中.

3)μ中有限多个成员的交集仍在μ中.则偶对(X，μ)称为拓扑空间，μ中元素称为开集.

定义2[5]集族B⊂O叫做拓扑空间(X，O)的基，如果X中每个非空开集都可由B的某个子集族的并表示.

定义3设是超拓扑空间X的超拓扑，⊂如果中每一元素是的某个子集族的并，称是超拓扑空间X的超基.

定义4设X1，X2是两个集合，记X1×X2为它们的笛卡尔积，以{U1×U2|U1∈1，U2∈2}为超基的超拓扑，叫做X×Y上的超积拓扑，则称(X1×X2，)为超积拓扑空间.

定义5[6]设(X,ι)是超拓扑空间，取x∈X，U是X的子集，若存在超开集V∈ι，使得x∈V⊂U，则称U是点x的超邻域.

定义6某超拓扑空间的一个超基或在某一点处的一个超邻域基，如果是一个可数族，则分别简称为一个可数超基和一个可数超邻域基.

定义7一个超拓扑空间如果有一个可数的超拓扑基，则称此超拓扑空间满足第二超可数性公理.

定义8一个超拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数超邻域基，则称此超拓扑空间满足第一超可数性公理.

定义9设X是一个超拓扑空间，A⊂X，如果D的超闭包等于X，即scl(A)=X，则称D为X的一个超稠密子集.

定义10设X是一个超拓扑空间，如果X中有一个可数的超稠密子集，则称X为一个超可分空间.

定义11一个超拓扑空间X是一个超局部紧空间，如果对所有x∈X，存在x的一个超邻域U，使得scl(U)是X的一个超紧子空间.

2 主要结果

定理1若X1，X2是满足第二超可数性公理的超拓扑空间，则超积空间X1×X2满足第二超可数性公理.

定理2若X1，X2是满足第一超可数性公理的超拓扑空间，则超积空间X1×X2满足第一超可数性公理.

所以∪B(x)×B(x′)为X1×X2的超邻域基，又∪B(x)×B(x′)是可数的，所以∀x∈X1，∀x′∈X2，∪B(x)×B(x′)是X1×X2的可数的超邻域基，故超积空间X1×X2满足第一超可数性公理.

若E是超拓扑空间(X，τ)的子集，则包含E的所有超闭集的交称为E的超闭包，记为scl(E).下面的命题给出了超闭包的等价条件.

命题1x∈scl(A)⟺x的任一超邻域U，都有U∩A≠Ø.

证明 必要性：1)x∈scl(A)=A∪As′，x∈A，则x的任意超邻域U，有U∩A⊃{x}≠Ø.

2)x∈As′，则x的任意超邻域U，有U∩(A{x})≠Ø，即U∩A≠Ø.

充分性：1)x∈A⊂scl(A)⟹x∈scl(A).

2)x∉A，A=A{x}，x∈As'⊂scl(A)⟹x∈scl(A)，故x得任意邻域U，有U∩A{x}≠Ø.

引理2若X1，X2是超拓扑空间，X1×X2是它们的乘积空间，证明对于任何A⊂X，B⊂X，有scl(A×B)=scl(A)×scl(B).

证明 设x=(x1，x2)∈scl(A×B)，对于任意的超开邻域x1∈U，x2∈V，由命题1

(U×V)∩(A×B)≠Ø又因为(U×V)∩(A×B)=(U∩A)×(V∩B)，所以U∩A≠Ø，V∩B≠Ø.所以x1∈scl(A)，x2∈scl(B)，x=(x1，x2)∈scl(A)×scl(B).

故scl(A×B)⊂scl(A)×scl(B).

反之，设x=(x1，x2)∈scl(A)×scl(B)，则x1∈scl(A)，x2∈scl(B).对x的任意的超开邻域W，分别存在x1，x2的超邻域U，V，且W=U×V.由于U∩A≠Ø，V∩B≠Ø.则(U∩A)×(V∩B)=W∩(A×B)≠φ.所以x∈scl(A×B)，scl(A×B)⊃scl(A)×scl(B)

综上所述，scl(A×B)=scl(A)×scl(B).

定理3若X1，X2是超可分空间，则乘积空间X1×X2也是一个超可分空间.

证明 若X1和X2是超可分空间，D1，D2分别为X1，X2的可数超稠密子集，则D1×D2为X1×X2的可数子集.且scl(D1)=X1，scl(D2)=X2，由引理2，

scl(D1×D2)=scl(D1)×scl(D2)=X1×X2.

所以D1×D2为X1×X2的可数超稠密子集，即X1×X2是超可分空间.

引理3[2]若X，Y都是超紧空间，则乘积空间X×Y也是超紧的.

定理4若X1，X2都是超局部紧空间，则乘积空间X1×X2也是超局部紧空间.

证明 设X1，X2是超局部紧空间，x=(x1，x2)∈X1×X2，则分别存在x1，x2在X1，X2中的超邻域U1，U2，使得scl(U1)，scl(U2)分别为X1，X2的超紧子空间.且有U1×U2为x的超邻域，由引理3，超紧空间与超紧空间的笛卡尔积是超紧的，从而scl(U1)×scl(U2)=scl(U1×U2)为X1×X2中的超紧子空间，所以X1×X2为超局部紧空间.

定理5若X1，X2都是S-T0空间，则超积空间X1×X2也是S-T0空间.

证明 若X1和X2是S-T0空间，(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互异的两点，则有x1≠x2，y1≠y2.因为X1为S-T0空间，所以在X1中有超开集U仅含x1与x2之一，不妨设x1∈U，x2∉U，则P-1(U)是X1×X2中点(x1，y1)的超开邻域，且其不包含(x2，y2)，故X1×X2为S-T0空间.

定理6若X1，X2都是S-T1空间，则乘积空间X1×X2也是S-T1空间.

证明 若X1和X2是S-T1空间，设x1，x2为X1中互异两点，y1，y2为X2中互异两点，则(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互异的两点.因为X1为S-T1空间，在X1中有超开集U，V使得x1∈U，x2∉U且x2∈V，x1∉V，则P-1(U)是X1×X2中，点(x1，y1)的超开邻域且(x2，y2)∉P-1(U).P-1(V)是X1×X2中点(x2，y2)的超开邻域，且(x1，y1)∉P-1(V)，则X1×X2也是S-T1空间.

定理7若X1，X2都是S-T2空间，则乘积空间X1×X2也是S-T2空间.

证明：设X1，X2都是S-T2空间，(x1，y1)，(x2，y2)是X1×X2中互异的两点，则x1≠x2或y1≠y2，不妨设x1≠x2，则X1中有x1与x2的不相交的超开集U与V.U×X2与V×X2就是(x1，y1)与(x2，y2)的不相交的超开集.则X1×X2也是S-T2空间.

引理4[3]假设(X，μ)是超拓扑空间，则下面条件是等价的

1)(X，μ)是超正则的.

2)对每个a∈X和a∈U∈μ，则存在V∈μ，使得a∈V⊆scl(V)⊆U.

定理8若X1，X2都是S-T3空间，则乘积空间X1×X2也是S-T3空间.

证明 由引理4，设(x，y)∈X×Y且W为(x，y)的一个超开邻域，则存在x与y的超开集U1与U2，使得U1×U2⊂W，由于X1，X2都是S-T3空间，则存在x与y的超开集V1与V2，使得scl(Vi)⊂Ui(i=1，2)，于是V1×V2是(x，y)的超开集，并且scl(V1×V2)=scl(V1)×scl(V2)⊂U1×U2⊂W.则X1×X2也是S-T3空间.

3 结束语

将拓扑空间上的有限笛卡尔积延伸到超拓扑空间上，根据超拓扑空间上已有的基础知识定义了超可数公理、超可分性质及超局部紧性等概念，并研究了这些性质在超拓扑空间都有可乘性.