一类数列求和问题方法探究

广东省广州外国语学校

数列求和是数列考查的热点问题,而周期数列求和是数列求和中较常见的一类问题,根据周期性求数列和一般都比较容易.对于一些与周期数列结合的非周期数列求和问题又如何解决? 我们不妨称其为“类周期数列求和”问题.本文通过与周期数列求和类比,介绍“类周期数列求和”的方法技巧,希望对大家有所帮助.

一 周期数列的概念及求和方法

首先我们通过具体的例子介绍周期数列的一般求和方法.我们定义:对于数列{an},如果存在一个正整数T,使得对任意的正整数n ≥n0恒有an+T=an成立,则称数列{an}是从第n0项起的周期数列,且周期为T,T的最小值为最小正周期,简称周期.周期数列求和是数列问题中常见的一类问题,如何求周期数列{an}的前n项和Sn?

例1已知数列{an}满足a1=2,求其前30 项和S30.

解因为an+1=所以an+2所以,数列{an} 是以3 为周期的周期数列.因为a1=2,所以

an=其中k ∈N∗.

下面求前30 项的和S30.

方法一(并项求和)

数列每一个周期的和为a3k-2+a3k-1+a3k=前30 项和共包含10 个周期,所以

方法二(分组求和)

所以S30=T1+T2+T3=15.

评注周期数列的求和一般可以从并项求和或分组求和两种思路出发.并项求和步骤是先每个周期进行求和,将求和问题转化为多个周期和的问题,然后再进行整体求和;分组求和就是先将相等的项组合在一起求和然后整体求和.

二 类周期数列求和

类型一 通项公式为an=(-1)n ·bn类型求和,其中{bn}是一般数列

例2已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·(2n-1),求数列{an}的前n项和.

分析显然数列cn=(-1)n是以2 为周期的数列,称数列为类周期数列{an}.

解法一 (并项求和)先将同一周期的两项求和得:a1+a2=2,a3+a4=2,···,a2k-1+a2k=(-1)2k-1(2(2k-1)-1)+(-1)2k(4k-1)=-(4k-3)+4k-1=2,所以

当n=2m,则S2m=2m;

当n=2m-1,则S2m-1=S2m-a2m=2m-4m+1=-2m+1.所以

解法二(分组求和)

当n=2m-1时,S2m-1=S2m-a2m=-2m+1.所以

评注对于an=(-1)n ·bn的类周期数列求和可从两种角度出发:

(1)并项求和:将一个周期的项数相加,从而发现规律;

(2)分组求和:若周期为T的数列的前Tn项的和,可每隔T项取出项数求和,即先求1,2,···,T),则

变式1(2016年高考天津卷文科第18题)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n ∈N∗),且63.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若对任意的n ∈N∗,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列的前2n项和T2n.

思路(1)根据等比数列前n项和公式易得an=2n-1,过程略;

(2)首先

(-1)满足类型一问题,所以可以并项求和.

所以

评注对于通项公式为an=(-1)n ·bn的数列,数列cn=(-1)n显然是以2 为周期的数列,所以可称{an}为“类周期数列”.因其有一定的周期性,所以可类比周期数列的求和方法进行求和并项或分组求和,一般情况优先选择并项求和.

类型二 通项公式为an=bn·f(n)类型求和,其中{bn}以T为周期的周期数列

例3(2012年高考福建卷理科第11题)数列{an}的通项公式an=n·cos,其前n项和为Sn,则S2012等于().

A.1006 B.2012 C.503 D.0

分析显然数列是以4 为周期的数列,同样称数列{an}为类周期数列,所以可以进行并项求和或分组求和.

解法一 易知a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=2,所以

解法二设所以S2012=S1+S2+S3+S4=2·503=1006.

变式2数列{an}的通项其前n项和为Sn,则S30=____.

分析先化简通项公式发现{an}是以3 为周期的类周期数列,可以并项求和或分组求和.

解因为且是以3 为周期的数列,所以数列{an}为类周期数列(.)

方法一因为所以S30=

方法二

所以S30=S1+S2+S3=470.

变式3(2016年江西赣中南五校联考理科第15题)数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n+1)sin+1,前n项和为Sn,则S100=____.

分析数列bn=(-1)n(2n+1)sin是类型一、二的结合体,可以先分组消去(-1)n的影响,然后再并项求和.因为

设

所以S100=T1+T2+100=200.

评注例2 中的cos变式2 中的cos都是周期数列,所以对于形如an=bn ·cos(ωn)或an=bn ·sin(ωn)的数列求和,可以先求出cos(ωn)或sin(ωn)的周期,然后再并项求和或分组求和;变式3 是采取降维的思想,先分组求和消除其中一种周期的影响,再并项转化为常见数列的求和问题.

类型三 通项公式满足an+T-an=f(n)类型,其中T ∈N∗

例4(2015年湖北4月模拟文科第14题)已知Sn是数列{an}的前n和,a1=1,a2=2,a3=3,数列{an+an+1+an+2}是公差为2的等差数列,则S25=____.

分析令bn=an+an+1+an+2,所以bn+1-bn=an+3-an=2,所以数列{a3k-2}、{a3k-1}、{a3k}是公差为2的等差数列,所以分组求和即可.

所以S25=T1+T2+T3=81+72+80=233.

又因为是“类周期数列”,所以也可以并项求和:

a3n-2=1+2×(n-1)=2n-1,

a3n-1=2+2×(n-1)=2n,

a3n=3+2×(n-1)=2n+1,

所以a3n-2+a3n-1+a3n=6n.所以S25=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+···+(a22+a23+a24)+a25=6×

例5(2012 高考课标卷文科第12题)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60 项和为()

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

分析因为数列bn=(-1)n是以2为周期的周期数列,但不满足an+2-an=f(n)的形式,所以直接并项不能解决问题,但可以先按奇、偶项分成两组,然后再求和.

解法一当n=2k时,

当n=2k-1时,

(1)+(2)得a2k+1+a2k-1=2,所以a2k+1+a2k+3=2,所以a2k-1=a2k+3,所以a1=a5=···=a61,所以-a1+a2+a3+···+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+···+(a60+a61)= 3+7+11+···+(2×60-1)=

解法二当n=2k-1时,

当n=2k时,

当n=2k+1时,

(4)-(3)得a2k+1+a2k-1=2,(4)+(5)得a2k+a2k+2=8k,设T1=(a1+a3)+(a5+a7)+···+(a57+a59)=2×15=30;

所以S60=T1+T2=30+1800=1830.

三 总结提升

类比周期函数an+T-an=0,当数列递推公式经过运算满足an+T-an=f(n)形式时,我们都可以称数列{an}为“类周期数列”.通过以上的例子说明类周期数列求和的一般策略是将其转化为一个新数列{bn}的求和问题来处理,其方法是将连续的一个周期内的项进行并项求和构造易于求和的新数列{bn},或先按周期T将Sn分成T组S1,S2,···,ST,先求出Si,再整体求和.

数列求和是高考中的难点也是热点,(类)周期数列这个概念尽管在目前的高中教材中没有定义过,但与(类)周期数列有关的问题却在高考和模拟试题中屡见不鲜.在平时的学习、教学中,要善于类比、总结,记住一些常见问题的解题方法和步骤,灵活运用方法技巧,可以起到触类旁通、化繁为简的效果,在复习备考中值得我们重视和研究.