HPM视角下“两角和与差的余弦公式”课例研究

马艳荣 汪晓勤

【摘要】两角和与差的正弦和余弦公式常常被称为平面三角学基本公式，用其中任何一个公式都能推导出其他公式。研究者从学生已有的认知基础出发，以相关数学史料为主线，通过设置层层递进的问题串，引导学生经历两角和与差的余弦公式的发现和推导过程，从而以重构式将数学史融入数学教学中，发挥学生的主观能动性，让学生探究出历史上的几何模型，体验知识的发生和发展过程。

【关键词】HPM;问题串;重构式

一、引言

两角和与差的正弦和余弦公式常常被称为平面三角学基本公式，用其中任何一个公式都能推导出其他公式。在数学史上，两角和与差的正弦和余弦公式源于编制弦表的需要，因此，它们几乎伴随着三角学的诞生而诞生。在西方早期三角学教科书中，这些公式的几何推导方法精彩纷呈[1]。

现行各种版本的高中数学教科书大多以两角差的余弦公式作为出发点，只是所采用的引入方式和证明方法各有不同。初学者面对形式对称的两角和与差的余弦公式，常常会产生以下疑问：为何不按照三角函数的学习顺序，先讲两角和与差的正弦，再讲两角和与差的余弦？这样的公式一开始究竟是如何想到的？为何要引进两角和与差的正弦和余弦公式？

根据学生和教师的调查表明，学生在学习两角和与差的余弦公式时，存在以下困难：（1）难以想到用向量法或两点间距离公式来推导两角差的余弦公式;（2）用两点间距离公式推导两角差的余弦公式时，难以想到差角的构造;（3）利用帕普斯模型推导公式时，在用线段量角度、角的转化与表示、添加辅助线构造等量关系等步骤上存在一定困难。

已有的HPM视角下的教学设计[2-3]并没有很好地解决上述问题。鉴于此，教师设置层层递进的问题串，引导学生经历两角和与差的余弦公式的发现和推导过程，从而以重构式将数学史融入数学教学中。拟订的教学目标如下。

（1）能够对两角和与差的余弦公式进行简单且正确的应用（主要是化简、求值），能够进行简单三角恒等变换。

（2）经历两角和与差的余弦公式的推导和证明过程，体验探究之乐，理解公式的多种证明方法，进一步感受方法之美。

（3）领会数形结合思想以及转化思想，培养学生直观想象素养和逻辑推理素养。

（4）感受数学文化的魅力，感悟数学的人文精神。

二、数学史料

西方早期三角学教科书中，关于两角和与差的正弦和余弦公式的最典型的推导方法是利用帕普斯模型，该几何模型源于古希腊数学家帕普斯（Pappus）在《数学汇编》中提出的一个命ymbol^A@OB，垂足为H，交半圆于点E。过点H作OA、CD的垂线，垂足分别为G和M。再过点E作OA、HG的垂线，垂足为F和N。易知OH=cosβ，HG=sinαcosβ，OG=cosαcosβ，CH=HE=sinβ，CM=HN=cosαsinβ，MH=DG=GF=sinαsinβ。因为CD=MD+CM=HG+CM，OD=OG-DG，EF=HG-HN，OF=OG+GF，故得两角和与差的正弦和余弦公式。

三、教学设计与实施

根据帕普斯模型，笔者设计了由11个问题组成的问题串[4-5]。

（一）课题引入

问题1：如何求30°和45°这些特殊角的正弦和余弦值？

生1：用计算器。

生2：通过测量。

生3：利用勾股定理。

生4：画出一个斜边为1的直角三角形，根据三角形的特殊性质，利用勾股定理得出各边的长度，然后用对边比斜边可得sin30°=12，sin45°=22，邻边比斜边可得cos30°=32，cos45°=22。

问题2：能否利用45°和30°的正弦和余弦值求cos15°呢？

师：若用锐角α和β分别代替45°和30°，那么是否可以用α和β的正弦和余弦来表示cos（α-β）呢？

生：cos45°-cos30°=22-32，但是cos15°=cos（45°-30°）≠cos45°-cos30°。因此，对任意角α和β，等式cos（α-β）=cosα-cosβ不成立。

师：那究竟如何用α和β的正弦和余弦来表示cos（α-β）呢？带着这样一个问题，我们一起走进今天的课题——两角和与差的余弦公式。

（二）公式探究

问题3：如图2，给定斜边均为1、一个内角分别为α和β的兩个直角三角形AOC和BO′D，如何构造出α-β？

生1：将两个直角三角形拼在一起，使顶点O和O′重合。

师：如何得到α-β？

生2：顶点O和O′重合，OC和O′D部分重合，则∠AOB=α-β（如图3）。

生3：顶点O和O′重合，OC和O′B部分重合，则∠AOD=α-β（如图4）。

师：由于时间关系，我们只选择方法一（如图3）和方法三（如图5）进行研究。

问题4：能否利用α和β尽可能将图中的线段长度表示出来？

（教师将学生分成两组，一组根据图3进行研究，一组根据图5进行研究。）

生：AC=sinα，OC=cosα，BD=sinβ，O′D=cosβ。

问题5：通过添加辅助线，能否找到一条线段，使其长度等于cos（α-β）？

生1：过点A作OB的垂线，垂足为N（如图7），则ON=cos（α-β）。

生2：过点B作OC的垂线，垂足为N（如图8），则ON=cos（α-β）。

师：很好，要研究cos（α-β），就需要研究线段ON的长度。

问题6：如何用α，β 的正弦和余弦来表示线段ON的长度？

在教学中，教师发现，学生求图7中线段OQ和线段QN的长度，以及图8中线段OC和线段CN的长度，都遇到了困难。

师：同学们解题遇到了困难，看来还需要添加新的辅助线，对线段ON进行分割。

生1：如图9，过点C作OB的垂线，垂足为E，则OE=OCcosβ=cosαcosβ，ON=OE+EN。

生2：如图10，过点D作ON的垂线，垂足为E，则OE=ODcosα=cosαcosβ，ON=OE+EN。

问题7：如何利用已知的三角比来表示线段EN的长度？

生1：如图9，过点C作AN的垂线，垂足为F，在Rt△AFC中，CF=ACsinβ=sinαsinβ。

生2：如图10，过点B作DE的垂線，垂足为F，在Rt△DFB中，BF=BDsinα=sinαsinβ。

问题8：能否利用已表示出来的线段长度建立cos（α-β）与α和β 的正弦和余弦之间的关系？

生1：如图9，ON=OE+EN=OE+CF，即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

生2：如图10，ON=OE+EN=OE+BF，即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

问题9：如图10，以上推导是建立在α和β为锐角的前提下的。如果α和β为任意角，结论是否成立？

生：当α和β是其他范围内时，可以利用诱导公式，证明公式也成立。

教师板书，即C（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（α，β为任意角）。

问题10：除了以上的几何推导方法，推导两角差的余弦公式，还有其他简便方法吗？

师：回忆刚才锐角情形下的帕普斯模型和任意角的定义，能否找到一个更简便的几何模型，直接得到任意角情形下的两角差的余弦公式呢？

教师播放微视频1，并板书展示用两点间距离公式进行推导的方法。微视频1内容如下。

帕普斯模型为我们带来了直观感知，但古代数学家仅仅满足于锐角的情形。随着角的推广，数学家开始关心两角差的余弦公式是否适用于任意角的情形。利用帕普斯模型得出的公式，还需借助诱导公式加以推广，比较烦琐。1941年，美国数学家麦克沙恩（E. J. McShane）对两角差的余弦公式重新进行了推导。如图11所示，在单位圆中，α和β为任意角，它们的终边与单位圆交于点B和C，其坐标分别为B（cosα，sinα），C（cosβ，sinβ）。将△BOC沿顺时针方向旋转，使得OC与OA重合，OB与OD重合，此时就是与α-β终边相同的角。点D的坐标为（cos（α-β），sin（α-β）），由AD=CB，利用两点间距离公式得到两角差的余弦公式。这也是教科书中所提供的证明方法。由形到数，两点间距离公式的推导方法也适用于任意角的情形。

问题11：知道两角差的余弦公式，你能直接得出两角和的余弦公式吗？

生：cos（α+β）=cosα-（-β）=cosαcos（-β）-sinαsin（-β）。

教师板书，即C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（α，β为任意角）。

（三）历史回眸

教师播放微视频2，内容如下。

打开20世纪以前的任何一部西方三角学著作，我们发现公式中至少有一个是用几何方法推导证明的。公元2世纪，古希腊著名数学家托勒密在编制弦表的过程中，发现并提出了后人以其名字命名的定理：圆内接四边形两条对角线乘积等于两组对边乘积之和。利用该定理可推导出两角和与差的余弦公式。公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯为我们提供了许多三角公式的几何模型。20世纪中叶以前，绝大多数三角学教科书都采用了帕普斯模型来证明锐角情形下的两角和与差的余弦公式，然后利用诱导公式，证明任意角的情形。我们刚才课堂上带领大家探索的两角差的余弦公式的几何模型正是帕普斯模型为我们带来的灵感。而今天，我们对两角和与差的余弦公式证明方法的探索仍未止步，不少学者还利用出入相补原理，推导出面积视角下的两角和与差的余弦公式。

（四）公式应用

例1利用两角和与差的余弦公式求cos15°和cos75°的值。

例2化简cosαcos（60°-α）-sinαsin（60°-α）。

例3求证下列恒等式。

（1）cosπ2-α=sinα;（2）sinπ2-α=cosα。

设计意图：教师请学生作答，让学生熟练运用公式，并体会三角代换的思想，为下节课学习两角和与差的正弦公式做铺垫。

（五）小结延伸

教师和学生一起总结本节课的内容。

1三种方法。基于帕普斯模型的两种方法的核心思想是通过构造直角三角形，找出相应的三角函数线段，直观性比较强;而麦克沙恩的旋转法的优点在于简洁方便，可以直接得出任意角的两角差的余弦公式，突破了帕普斯模型从锐角到钝角的局限性。

2两类素养。通过两个几何模型推导两角差的余弦公式，培养学生逻辑推理素养和直观想象素养。

3一个专题。微视频2呈现了“两角和与差的余弦公式”的历史，拓宽了学生的视野，让学生感悟数学的人文精神。

最后，教师让学生课后解决以下问题。

（1）利用公式cos（αβ）=cosαcosβ±sinαsinβ，cosπ2-α=sinα和sinπ2-α=cosα，推导关于sin（α±β）的公式。

（2）利用α-β的构造方法二和方法四，能否推导两角差的余弦公式？

四、学生反馈

（一）视频分析结果

弗兰德斯互动分析系统的结果显示[6]，教师以问题驱动的形式来加强师生间的互动，对于学生的回答，教师能及时做出回应，并加以追问，课堂气氛较活跃，学生参与度较高。

（二）问卷调查结果

在两次教学的实施过程中，大部分学生认为教师在公式推导过程中设置的层层递进的问题可以引导他们步步深入地分析问题、解决问题和建构知识，帮助他们深入理解推导过程，形成较为完整和清晰的知识体系，同时可以引领他们突破难点，扫清学习障碍[7]。教师让学生利用几何模型推导sin（α+β），学生能够给出4种解决方法，且在第二次教学中，6857的学生能给出完整的证明过程。有关线段度量角度、角的转化与表示、添加辅助线构造等量关系等，大部分学生的困惑也得到了解決。

（三）学生访谈结果

课后教师分别对5名学生进行了访谈，进一步了解学生对两角和与差的余弦公式推导过程的理解与掌握情况，以及对HPM问题串教学的反馈情况。从学生的反馈可以看出，HPM问题串在一定程度上能够激发学生的思考，帮助学生克服学习难点，促进知识的理解。学生访谈结果表明，以微视频衔接基于帕普斯模型的几何方法和基于两点间距离公式的解析几何方法，促进了学生对后者的理解。从特殊到一般的研究方法，加深了学生对公式推导过程的理解。同时可以看出，学生的回答与FIAS互动分析的结果基本吻合，这表明，FIAS量化数据是有效的。

五、结语

课堂从学生已有的认知基础出发，以相关数学史料为主线，通过设置层层递进的问题串，由易到难，逐步探究两角和与差的余弦公式，可学性较强。从趣味性方面看，几何的味道较浓，学生学习兴趣较高。此外，有关两角和与差的余弦公式历史的微视频，在一定程度上激发了学生学习数学的热情与兴趣。从有效性方面看，学生自行探究3分钟，为学生留下了充分思考的空间，能较好发挥学生的主观能动性，让学生自己探究出历史上的几何模型，体验知识的发生和发展过程。

因此，要想让数学史自然融入课堂教学，数学问题串的设计不可或缺。问题串的设计是HPM视角下数学教学的需要，问题串的使用将更完整地为我们再现概念、公式、定理和思想的发生和发展历史，使数学史的教育价值得以最大化地发挥，使数学课堂变得流畅而精彩。问题1到问题11，一线贯穿，构成了一个完整的问题串，紧扣教学目标，坚持以学生为主体，关注学生的最近发展区，以帕普斯模型为主线贯穿始终，让学生在历史的长河中享受探究之乐，体会方法之美，感悟文化之魅。每一个问题的设计都具有一定的指向性，保证了问题之间的连贯性。但问题串设计的自然性还有待改善，尤其问题10的衔接过于生硬，若没有微视频的辅助，更是让学生琢磨不透。

利用帕普斯模型推导两角差的余弦公式时，学生主要在利用线段度量角度、角的转化与表示、添加辅助线构造等量关系三个方面存在困难，数学史的融入能够引导学生深入理解公式的推导。学生之所以对公式中的符号变换混淆不清，并且陷入“死记硬背”的误区，主要在于不理解公式背后所揭示的单角和复合角之间的关系，而数学史的融入能够帮助学生走出公式记忆误区。数学史的融入在促进学生公式运用方面效果不明显，尽管大部分学生在课后测试卷中能够运用公式解决一些简单问题，能够发现简单问题中所隐藏的两角差的余弦公式。但是访谈结果表明，学生在公式运用过程中还存在一些困惑。要想解决公式运用过程中的困惑，一节课的效果并不是很明显，需要后续的不断练习作为辅助，在更深入理解其背后的代换思想后，学生才会慢慢有所体会，公式运用起来才能得心应手。

参考文献：

[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[2]张小明，汪晓勤.两角和差的三角公式推导：数学史融入数学教学的案例研究[J].数学教学，2007（2）：42-44.

[3]张益明，丁倩文.“两角和与差的余弦公式”从历史中找价值、看证明[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（6）：33-38.

[4]马艳荣，汪晓勤.基于数学史的高中数学问题串初探[J].中学数学教学参考（上旬），2018（4）：7-10.

[5]SILVER E A.Posing mathematical problems：an exploratory study[J].Journal for Research in Mathematics Education，1996（3）：293-309.

[6]武小鹏，张怡.基于FIAS的高中数学课堂教学比较研究：以2014年全国数学教育研究会两节观摩研讨课为例[J].数学教育学报，2015（5）：87-91.

[7]戴经纬，唐恒钧.基于数学方法论的问题链：学生有脉络地探索[J].中国数学教育，2018（10）：21-23.