Kolmogorov型方程的多参数反演分析

赵 晶 晶

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

偏微分方程[1]已经发展了几百年，其在物理学、工程技术以及其他许多领域都有广泛的应用。物理学和工程技术中出现的偏微分方程问题可以分为两大类：一类是正问题，其研究在理论和应用上都比较成熟；另一类是反问题[2]，反问题起着由果寻因的作用，其研究目前还不是很成熟。其中，反问题的不适定性[3]是反问题研究的最大难点。在现实生活中存在大量的反问题，例如通过地震波的测量来判断地球内部的结构或地下矿藏的位置，利用红外线扫描来探测固体材料中的缺陷，利用X光分层扫描构像来作医学诊断，等等。 由于反问题在理论研究和现实生活中的重要性，近些年来有许多学者对反问题做了研究，尤其是对抛物型方程的反问题进行了大量研究。例如：抛物型方程的源项反演问题[4-5]，抛物型方程的系数重构问题[6-7]，Jiang等[8]研究了从期权的当前市场价格中重构Black-Scholes方程中隐含波动率的反问题，蔡超等[9]研究了在给定附加条件下Kolmogorov型方程系数b(x,t)的反演问题：

ut-Δu+b(x,t)ux=f(x,t),(x,t)∈QT=(0,l)×(0,T]。

Yamamoto等[10]首次研究了同时重构热传导方程的初始温度和辐射系数的反问题，并利用Tikhonov正则化方法得到了该问题的数值解。

本文研究了同时重构Kolmogorov型方程的初值和一阶项系数的反问题。此类问题在随机控制和金融数学中都有很重要的应用[11]。具体数学模型：

问题P记Q={(x,t)|0

(1)

u(x,t)=z(x,t),(x,t)∈ω×(0,T),

(2)

u(x,T)=zT(x),x∈Ω。

(3)

这里ω=(a,b)⊂(0,l)=Ω，ω是Ω的任意子集。如何利用条件(1)- 条件(3)求解函数s(x)、φ(x)和u(x,t)。

1 最优控制问题

假设可测量函数z(x,t)和zT(x)满足下列条件：

z(x,t)∈L2(0,T;L2(ω)),zT(x)∈L2(Ω)。

(4)

由于问题P是不适定的，即它的解不连续、依赖于观测数据。我们转而考虑下面的最优控制问题：

(5)

其中：

(6)

A1={s(x)||s(x)|≤M1,s∈H1(Ω)},

(7)

A2={φ(x)|0<φ(x)≤M2,φ∈H1(Ω)}，

(8)

这里M1和M2是两个给定的正常数，σ是一个比较小的正常数。对于给定的系数s(x)∈A1和初值φ(x)∈A2，函数u(x,t;s,φ)是方程(1)的解。α和β是正则化参数。

由抛物型方程的Schauder理论可知，对给定的系数s(x)和初值φ(x),方程(1)有唯一的解u(x,t)。以下是关于u(x,t)的一些估计。

引理1 设u(x,t)是问题(1)的解，则对u(x,t)有如下估计：

(9)

本文中如果没有特别说明，将用C表示与T无关的不同情形下的常数。

引理2 令u(x,t)是问题(1)的解，则对s(x)∈A1、φ(x)∈A2有如下对u(x,t)的能量估计：

(10)

(11)

2 存在性

(12)

定理1的证明与文献[8]中定理3.1的证明类似，此处不再赘述。

3 必要条件

定理2 令(sn,φn)是控制问题(5)的解，则对任意的(h,k)∈A1×A2，有

(13)

其中，ξ(x,t)和η(x,t)满足

(14)

(15)

4 局部唯一性与稳定性

最优控制问题P1是非凸的，人们并不期望得到它的唯一解。众所周知，对于没有唯一解的反问题，最优化方法是求解它的通解的一个经典的方法。然而，如果终端时间T比较小的话，那么惩罚泛函的最小值可以被证明是局部唯一且稳定的，这也是本文主要要去求证的部分。

假设{s1,φ1}是最优控制问题P1对应于{z1(x,t),z1(x,T)}的解，{s2,φ2}是最优控制问题P1对应于{z2(x,t),z2(x,T)}的解。

令

u1(x,t;s,φ)=u(x,t,s1,φ1),

u2(x,t;s,φ)=u(x,t,s2,φ2)。

设

u1-u2=U,

s1-s2=S,

φ1-φ2=Φ。

则U满足

(16)

在式(13)中，当(s,φ)=(s1,φ1)时，取(h,k)=(s2,φ2)；当(s,φ)=(s2,φ2)时，取(h,k)=(s1,φ1)。

于是有

(17)

且有

(18)

则由式(17)和式(18)可得

(19)

对于I1有

(u2-z2)(ξ2+η2)]dxdt

≡I11+I12+I13+I14。

(20)

同样地，对于I2有

≡I21+I22+I23+I24。

(21)

其中ξ1、ξ2、η1和η2满足

(22)

(23)

(24)

(25)

令

ξ1+ξ2=Ξ,
η1+η2=N,
ξ1+η1=V。

则Ξ、N和V满足

(26)

(27)

(28)

引理3 对于方程(16)有如下估计

(29)

(30)

其中C与T无关。

引理4 对于方程(23)和方程(25)，有如下估计成立：

(31)

(32)

(33)

(34)

其中C与T无关。

引理5 对Ξ、N和V，有如下估计式：

(35)

(36)

(37)

定理3 令{s1,φ1}和{s2,φ2}分别是最优控制问题P1对应于{z1(x,t),z1(x,T)}和{z2(x,t),z2(x,T)}的最优解，如果有

s1|x=0=s2|x=0，s1|x=l=s2|x=l，φ1|x=0=φ2|x=0，φ1|x=l=φ2|x=l。

(38)

则存在一个常数T0，0

‖s1-s2‖H1(Ω)+‖φ1-φ2‖H1(Ω)≤C(‖z1-z2‖L2(0,T;L2(ω))+‖z1(x,T)-z2(x,T)‖L2(Ω))。

(39)

其中C是与T无关的常数。

证明：由式(20)得，对于I1有

(40)

根据引理1和式(4)，显然可以得到

(41)

其中C是与T无关的常数。

再根据引理3、引理5、式(40)和式(41)可推出

(42)

应用Soblev嵌入定理：

max|S|≤C‖S‖L2(Ω)。

(43)

从而根据柯西不等式、式(40)、式(41)和引理2可得

(44)

同样地，对于I2可以得出

(45)

注意到条件(38)，有下面的Poincaré不等式：

‖Φ‖H1(Ω)≤C‖Φ‖L2(Ω),‖S‖H1(Ω)≤C‖S‖L2(Ω)。

(46)

则结合式(19)、式(44)、式(45)和Poincaré不等式(46)，有

(47)

其中C与T无关。

因此,对于固定的α和β，假设T0<<1，令

(48)

则对任意的0

(49)

最后，再次应用Poincaré不等式可以得到

(50)

其中C由正则化参数α和β决定，定理3得证。

5 结 语

本文主要从理论角度出发，使用最优控制理论来讨论问题P。在最优控制框架下，将问题P转化为一个最优控制问题P1，紧接着证明了最优化问题解的局部适定性(即解的存在性、唯一性与稳定性)。与通常的单参数控制问题不同，本文控制泛函含有两个未知参数和两个独立的正则化参数。该问题的主要难度在于各参数之间的相互影响，特别是二者所对应的反演不适定程度大不相同(系数反问题相对温和，而初值反演是强不适定)，这也是本文的主要特色。我们的结果为将来的数值模拟打下了坚实的理论基础。