图象法解题的技巧和方法

张岩松

摘 要：图象是无声的物理语言，图象法解题是非常重要的解题方法.

关键词：斜率;面积;函数关系;辅助线;凑数

解题离不开方法，方法是解题的灵魂，好的方法往往是解题的捷径.图象法解题是高中物理解题的常用方法之一，也是一种很有效的解题手段，图象法解题可以归纳为以下九种方法.

1 斜率法

图象的斜率表示函数的变化率，常用来表示一个重要的物理量，譬如：s-t图象的斜率表示速度，v-t图象的斜率表示加速度，φ-x图象的斜率表示电场强度，EK-x图象的斜率表示力，U-I图象的斜率表示电阻等.斜率往往是图象题的题眼，是解题的突破口，一定要善于利用.

例1 （2017江苏）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示.下列说法正确的有（ ）

A.q1和q2，带有异种电荷.

B.x1处的电场强度为零.

C.负电荷从x1移到x2，电势能减小.

D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大.

解析 因为E=Ud，所以函数φ-x图线的切线斜率表示场强E，由图1可知从x1到x2过程中图线切线斜率变小，到x2处斜率为零 .即场强从x1到x2一直减小，且E2=0.电场力F=Eq，负电荷从x1移动到x2受到电场力减小，选项BD错误.

沿x轴方向电势由负到正，x1为临界点，故x轴上的两个电荷q1、q2为异种电荷，选项A正确.

由图可知，φx1<φx2.负电荷由低电势到高电势，电场力做正功，电势能减小，选项C正确.

所以答案AC.

解题策略 抓图线的斜率和临界点（或特殊点）是解本题的技巧和关键.

2 面积法

物理圖象与坐标轴所围成的面积有时与某一物理量相对应，譬如v-t图象的面积表示位移，F-x图象的面积表示功，F-t图象的面积表示冲量，a-t图象的面积表示速度的变化量等.利用图象的面积来解题，有时比解析法更简单、更巧妙、更灵活.其中有一类图象题的面积具有规则的几何形状，如三角形、圆形、梯形等，这类面积可以根据其面积公式求得.还有一类图象题的面积没有规则的几何形状，不过这类题的背景往往有个格子坐标纸，计算这类题型面积的方法是算出每个格子的面积，再数出面积大于或等于半个格的格数，两者相乘求其总面积.因此这类题的解法也可以叫做“数格子法”.

例2 总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图2所示是跳伞过程中的v-t图象，试根据图象求：（取g=10m/s2）

（1）t=1s时运动员的加速度和所受阻力的大小.

（2）估算14s内运动员下落的平均速度.

（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间.

解 （1）从图中可以看出，在t=2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为a=vtt=162m/s2=8m/s2.设此过程中运动员受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律有mg-f=ma，得f=m（g-a）=80×10-8N=160N.

（2）从图中先数出小格子数，大于或等于半个格的算一个格，少于半个格的舍掉，这样数出来大约共40个小格子，而每个小格子的面积为S0=2×2m2=4m2，所以运动员在14s内下落的高度为Δh=40S0=40×4m2=160m2，所以有v-=Δht=16014m/s=114m/s.

（3）14s后运动员做匀速运动的时间为t′=H-hv=500-1606=567s

∴运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间为：

t总=t+t′=（14+567）s=707s.

解题策略 用“数格子”的方法求出面积来确定位移是解这道题的解题技巧.

3 极限法

极限法是把某个物理量推向极值，即极大和极小，或者极左和极右，并依次做出科学的推理分析，从而能够迅速给出判断或导出一般性结论.极限法往往能够化难为易，化繁为简，起到事半功倍的作用.

例3 （2014年上海卷）如图3，竖直平面内的轨道Ⅰ和Ⅱ都是由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等.用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿Ⅰ和Ⅱ推至最高点A，所需时间分别为t1、t2，动能增量分别为ΔEK1、ΔEK2.假定球在经过轨道转折点前后速度大小不变，且球与轨道Ⅰ、Ⅱ间的动摩擦因数相等，则（ ）

A.ΔEK1>ΔEK2，t1>t2.

B.ΔEK1=ΔEK2，t1>t2.

C.ΔEK1>ΔEK2，t1

D.ΔEK1=ΔEK2，t1

解析 设两个轨道的水平投影长度为L，竖直高度为h，从B点分别沿两条轨道

运动到A点时，摩擦力做的功相同，都是Wf=-mgμL.重力做的功也相同，都为WG=-mgh.外力做的功也相同，都为WF=FL，根据动能定理：

W=Δ，∴WF+WG+Wf=Δ，因此ΔEK相同.利用极限法假设轨道Ⅰ前半段趋于竖直状态，轨道Ⅱ的后半段也趋于竖直状态，如图4中虚线所示，虚线构成平行四边形.小球在轨道Ⅰ上在水平方向上的恒力作用下运动及其缓慢，即所需的时间趋于无穷大，而轨道Ⅱ的后半段虽然也趋于竖直状态，但是小球已经有一定的速度，且经过转折点速度大小不变，所以所需的时间较短，则t1>t2，所以应该选B.

解题策略 将原来的部分轨道与水平方向的夹角外推成九十度，从而获得思路，得以求解，这就是极限的思想.当然，这个题也可以用v-t图象的面积表示位移来求解，但不如这个极限法来得简单.

4 特殊值代入法

有些物理题过程复杂，计算繁琐，我们可以带入一些特殊的恒定值，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，转化成具体的简单的特殊性问题来处理，使问题简单化，能够一目了然，从而迅速准确地解出题来.

例4 在某一个探究实验中，实验员将某物体以某一确定的初速率v0沿斜面向上推出（斜面足够长且与水平方向的倾角θ可调节），设物体在斜面上能达到的最大位移为Sm，实验测得Sm与斜面倾角θ的关系如图5所示，g取10m/s2，求：物体的初速率v0和物体与斜面间的动摩擦因数μ.

解 当θ=π2时，物体做竖直上抛运动，由图知最大高度为：Sm=10m

由0-v02=-2gSm，计算得出：v0=2gSm=2×10×10=1414m/s.

当θ=0时，Sm=10 3m，物体沿水平方向做匀减速运动，根据动能定理得：

-μmgSm=0-12mv02

∴μ=v022gSm=103）22×10×103=33=0577.

所以答案是v0=1414m/s;μ=0577.

解题策略 从图象中寻找隐含已知条件，找到两个特殊值，即θ=0时，Sm=10 3m，θ=π2时Sm=10m，是解题的技巧所在.

5 凑数法

下面这道电学题是求两灯泡的功率之比，因为两灯泡串联在电路之中，所以电流相等，因此功率之比等于其电压值比，但是它俩的电压值分别是多少从图象中根本看不出来，好像无从下手.但有一点是肯定的，即两个灯泡的电压之和等于220V.我们可以做出很多条平行于横轴的直线，每条直线与原来的两条伏安特性曲线都有两个交点，两个交点的横坐标值分别表示两个灯泡的电压，而两个电压之和应等于220V，这就是所谓的“凑数法”.这个事说起来简单，但做起来很麻烦，需要凑两个数的和等于220.當然通过仔细观察，不断地画线，不断地寻找，总能找到两个电压的数值之和等于220V，从而求得.“凑数法”是解这道题的技巧.

例5 如图6所示为灯泡L1“220V，100W”和L2“220V，60W”的伏安特性曲线（I-U图线），根据该图线可以确定L1、L2两灯串联接在220V的电源上时，两灯泡的实际功率之比大约为（ ）

A.2. B.3∶5. C5∶3. D1∶3.

解析 由I-U图象可以看出，串联时电流应为024A，此时L1的电压为60V，故此时L1的功率为P1=U1I1=144W.

L2的电压为160V，故此时L2的功率P2=U2I2=384W.所以P1P2=144384≈13.

故应该选D.

解题策略 画出平行于横轴的直线，让两个横坐标之和等于220，因此凑数“220”是解这道题的关键.

6 图象相交法

图象相交法就是题目本身已经给出了一种函数图象，再利用其它物理量之间的函数关系在原图象中做出新的函数关系图象，进一步找到两种函数图象的交点坐标值，从而找到答案.两种图象的交点往往是解题的突破口.

例6 翼型降落伞有很好的飞行性能，它被看作飞机的机翼，跳伞运动员可方便地控制转弯等动作，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气摩擦力都受到影响.已知：空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比F1=C1v2;空气摩擦力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比F2=C2v2，其中C1、C2相互影响，可由运动员调节，满足如图7b所示的关系.试求：

（1）图a中画出了运动员携带翼型伞跳伞后的两条大致运动轨迹，试对两位置的运动员画出受力示意图并判断，①、②两轨迹中哪条是不可能的，并简要说明理由.

（2）若降落伞最终匀速飞行的速度v与地平线的夹角为α，试从力平衡的角度证明：tanα=C2C1.

（3）某运动员和装备的总质量为70kg，匀速飞行的速度v与地平线的夹角α约370（取tan370=075），匀速飞行的速度v多大？（取g=10m/s2，计算结果保留三位有效数字）.

解析 （1）对轨迹①中的降落伞进行受力分析，如图8①位置所示，轨迹①合力方向与速度方向不在同一条直线上，所以不会做直线运动，因此轨迹①不可能存在.对轨迹②中的降落伞进行受力分析，如图8②位置所示，三力可能平衡或三力的合力可能与速度在一条直线上，可以做直线运动，因此轨迹②可能存在.

（2）由图8②位置的受力分析可以知道，匀速运动时，对重力进行分解，根据平衡条件得：

F1=mgcosα=c1v2，F2=mgsinα=C2v2.

两式消去mg和v得tanα=C2C1.

（3）因为tanα=C2C1=075，在图7b中过原点作出直线C2=075C1，正确得到直线与曲线的交点坐标.

C2=24，C1=32.根据F2=mgsinα=C2v2或F1=mgcosα=c1v2得出v=57=133.

解题策略 在图7b中过原点作出直线C2=075C1，找到与图线的交点是解本题第三问的关键.

图象是无声的物理语言，图象法解题是非常有力的表达，也是常用的解题方法.图象法解题，除了上面常见的六种方法之外，还有很多其它方法.可以说是形形色色，变化万千.但万变不离其宗，无论哪种方法，都是对物理基础知识的应用.知识是方法的基础，方法是知识的应用.要想拥有好的解题方法，必须首先拥有雄厚的物理基础知识.扎扎实实地学好基础知识，是一切巧思妙解的根源，基础知识掌握不透彻，不到位，则方法就无从谈起，方法就成了无本之木，无源之水.当然，好的方法和技巧，也能反过来促进对基础知识的理解和应用，它们是相辅相成的.俗话说的好，熟才能生巧，厚积才能薄发.

（收稿日期：2019-12-22）