一道高考题的解法探究

徐祖德

摘 要：本文以2019年全国Ⅰ卷理科第12题为载体，通过化繁为简、抽象模型、提炼公式，将几何体外接球问题变得直观、通透，简化计算量，适合在实践中应用.

关键词：高考真题;几何体;外接球

1 题目呈现

题目 （2019年全国Ⅰ卷理科第12题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，点E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）.

A.8 6πB.4 6πC.2 6πD. 6π

2 试题分析

本题紧扣课程标准，主要考查几何体的外接球的体积问题，以三棱锥为载体，考查学生化归与转化思想、数形结合思想，考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

3 解法探究

思路1 对一个正三棱锥来说，底面边长和侧棱长是两个基本量，这两个基本量确定了，这个正三棱锥的结构特征就确定了，外接球问题就自然解决了.于是本题可利用条件，建立等量关系求侧棱长，再求外接球的半径，从而求得外接球的体积.

解法1 设PA=PB=PC=2x，则EF=x.

又CF=3，在Rt△CEF中，由勾股定理可得，CE=3-x2.

在△ACP中，由中线定理可得，

AC2+CP2=2（AE2+CE2）.

则4+4x2=2（x2+3-x2）

解得x= 22.

所以PA=PB=PC=2.

过点P作PD⊥平面ABC，则垂足点D为底面正三角形的中心.

所以PD=PC2-CD2= 63.

设正三棱锥外接球半径为R，则有（PD-R）2+CD2=R2解得R= 62.

故球的体积为43πR3=6π，故选D.

思路2 求得侧棱长后，根据各数据的特征，发现三条侧棱两两互相垂直且相等，于是可以将其补成正方体，从而可以快速求得外接球的半径，问题就迎刃而解.

解法2 同思路1，先求得PA=PB=PC=2.

又AB=AC=BC=2，则△PAC，△PAB，△PBC均为等腰直角三角形.

所以PA，PB，PC两两互相垂直.

于是可以将这个三棱锥补成一个棱长为 2的正方体，且正方體的外接球就是三棱锥的外接球.

设该三棱锥外接球半径为R，则有（2R）2=（2）2+（2）2+（2）2.

解得R= 62.

故球的体积为43πR3=6π，故选D.

思路3 若对正三棱锥的性质“对棱互相垂直”非常熟悉，我们还可以通过几何证明三条侧棱两两互相垂直，从而大大简化计算.

解法3 因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以EF是△PAB的中位线.

所以EF//PB.

又因为CE⊥EF，所以CE⊥PB.

在三棱锥P-ABC中，因为PA=PB=PC，△ABC为正三角形，所以AC⊥PB.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面ACP.

所以PB⊥PA，PB⊥PC.

所以在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直.

以下同解法2.

思路4 前面三种思路局限在立体几何这个知识体系中，我们还可以利用空间向量的知识，转化条件，发现棱锥三条侧棱两两互相垂直的特殊性，从而使问题轻松解决.

解法4 设PA=a→，PB=b→，PC=c→，依题意知a→=b→=c→，且〈a→，b→〉=〈b→，c→〉=〈a→，c→〉.

因为CE=CP+PE=-c→+12a→，EF=12b→，∠CEF=90°，则CE·EF=（-c→+12a→）·b→2=0.

所以12cos〈a→，b→〉-cos〈b→，c→〉=0.

所以cos〈a→，b→〉=0.

所以a→⊥b→从而a→⊥c→，b→⊥c→

即PA，PB，PC两两互相垂直.

以下同解法2.

4 试题变式

思考1 根据正三棱锥的底面三角形外接圆与棱锥的高构造一个圆锥，我们发现该圆锥的外接球即为正三棱锥的外接球，故可将正棱锥补成圆锥求解.

变式1 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC=l，△ABC是边长为a的正三角形，则球O的半径为.

解析 如图2，以△ABC的外接圆为底面，以PA为母线，将三棱锥P-ABC补成一个圆锥，这时三棱锥的外接球即为圆锥的外接球.

在Rt△PAD中，有PA2=PD2+AD2，即l2=h2+r2.

在Rt△OAD中，有OA2=OD2+AD2，即R2=（h-R）2+r2.

所以R=l22h=l22 l2-13a2.

思考2 在本高考题中三棱锥P-ABC具有“三棱两两互相垂直”这一特殊的几何性质，我们可以削弱条件，三棱锥P-ABC中只有一条侧棱PA⊥底面ABC，我们可以通过补成柱体求解.

变式2 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=h，BC=a，∠BAC=θ，则球O的半径为.

解析 如图3，以△ABC的外接圆为底面，以PA为高，将三棱锥P-ABC补成一个圆柱，这时三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.

在Rt△OAD中，有OA2=OD2+AD2，即R2=（h2）2+r2.

在△ABC中，由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=asinθ.

所以R=（h2）2+r2=h24+a24sin2θ= h2sin2θ+a22sinθ.

通过以上分析，我们可以得到特殊几何体外接球半径的三种常见求解公式：

（1）补方 ：R=12 a2+b2+c2

（2）补锥： R=l22h

（3）补柱：R=（h2）2+r2

5 题后反思

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键，高考试题就恰恰是我们最佳研究对象.几何体的外接球半径问题，主要考查学生的空间想象能力、化归与转化能力和运算能力，已成为高考考查学生数学核心素养的重要载体.解决几何体外接球半径问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择几何体的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其它顶点的情况确定球心的准确位置.而“补方”“补锥”“补柱”是解决特殊几何体外接球半径问题行之有效的方法.

（收稿日期：2019-12-01）