压电智能薄壁结构电致材料和几何非线性建模与分析

张顺琦, 张书扬, 陈 敏, 赵国忠

(1.上海大学机电工程与自动化学院,上海200444;2.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连116024;3.西北工业大学机电学院,西安710072;4.西交利物浦大学工业设计系,江苏苏州215123)

将压电材料埋入或嵌入普通材料结构中形成的压电智能结构,具有自感知、自控制特性,被广泛应用于飞行器壁板结构形状控制、振动抑制和健康监测等[1-3].

对压电智能结构进行准确建模与仿真可为结构设计提供必要参考.已有的大量智能结构的线性建模均基于线性压电材料本构关系和线性应变位移关系.在线性压电本构关系框架下,大部分模型都假设电势在结构厚度方向是线性[4-5]或二次型[6-7]分布,只能适用于弱电场情况.假设电势沿厚度方向呈线性分布,Panda等[8]以及Varelis等[9]建立了冯卡门型非线性有限元模型,但只适用于中等变形以及小转角的情况;Lentzen等[10]建立了压电薄壁结构的中等转角非线性模型;Kundu等[11]以及Dash等[12]基于Reissner-Mindlin的中等转角假设,建立了几何全非线性模型;Zhang等[13-16]在大转角假设下建立了压电智能薄壁结构的大转角变形非线性模型.

上述模型均基于线性压电本构关系,只适用于弱电场情况.当施加强电场时,压电材料会表现出较强的材料非线性,文献[17-19]较早地对压电材料非线性本构关系进行了探究.之后,Yang等[20]建立了压电陶瓷和压电聚合物的材料非线性本构方程.其他一些关于压电材料非线性的数值分析和实验可参见文献[21-23].同时考虑两类非线性,Yao等[24]基于冯卡门非线性,建立了一种强致动电压下的智能结构非线性模型,但并不适用于几何大变形情况.

通过上述分析可以发现,已有研究大多只是单一地考虑电致材料非线性或几何非线性.然而,在强电压加载下,两类非线性会同时发生.因此,为了对压电智能结构描述得更准确,本工作同时考虑了两类非线性,建立了压电薄壁智能结构在强电压加载下的几何大变形非线性有限元模型.在所建立的非线性模型中,采用了多种几何非线性理论,并进行比较与计算,包括冯卡门非线性理论、中等转角非线性理论以及大转角非线性理论.模型首先通过已有研究的实验数据进行了有效性验证,之后利用模型对强致动电压下的压电智能板壳结构进行了计算和仿真分析.

1 非线性理论

1.1 压电材料非线性本构方程

处在强致动电场下的弹性压电材料的本构方程[18]可表示为忽略厚度方向应力,且电场只存在厚度方向,式(1)和(2)中的各系数为

在式(1)∼(12)中: 下标p,q表示1,2,4,5或6,m,n,k可以表示数字1,2或3;(ε1,ε2,ε6)和(σ1,σ2,σ6)分别表示面内应变和应力;(ε4,ε5)和(σ4,σ5)表示横向剪切应变和应力;Dm和En分别表示电位移和电场强度;spq,cpq,dmp和εmn分别表示柔度系数、刚度系数、压电系数以及介电系数;(β331,β332)和χ333分别表示非线性压电系数和非线性介电系数;Y1,Y2为杨氏模量;ν12,ν21为泊松比;G12,G13和G23为剪切模量;κ表示修正系数[16],取值5/6.

当多层压电材料和复合材料层合在一起时(见图1),由于复合材料纤维之间存在夹角,需要通过转换矩阵将复合-压电材料层合结构进行坐标统一[25-26].因此,在结构坐标系下的本构方程变为

图1 复合压电材料层合结构示意图Fig.1 Schematic diagram of composite piezoelectric laminated structures

式中:σ,ε,D和E分别表示应力向量、应变向量、电位移向量和电场强度向量;c表示刚度矩阵;表示非线性电场强度矩阵;e和g分别表示压电系数矩阵和介电常数矩阵;b和h分别表示非线性压电系数矩阵和非线性介电系数矩阵.

1.2 几何非线性理论

基于一阶剪切变形假设,薄壁结构内任意一点处的位移可表示为

假设结构在变形时厚度不变,得到拉格朗日几何非线性应变张量[27-28]为

式中:εαβ和εα3分别表示面内应变和横向剪切应变.不同的非线性理论使式(17)和(18)中各应变项表示的应变位移关系也不同[16].考虑不同的应变位移关系,可以得到不同的几何线性和非线性板壳模型[13-14,25],例如5参数线性板壳模型(LIN5)、5参数修正冯卡门非线性板壳模型(RVK5)、5参数中等转角非线性板壳模型(MRT5)、中等转角假设下的几何全非线性板壳模型(LRT5)以及6参数大转角非线性板壳模型(LRT56).在施加强电压(strong electric field,SE)的情况下,同时考虑几何非线性,可得到相对应的线性和非线性模型,记为LIN5SE,RVK5SE,MRT5SE,LRT5SE和LRT56SE.当施加弱电压(weak electric field,WE)时,则所建模型用LIN5WE,RVK5WE,MRT5WE,LRT5WE和LRT56WE表示.

本工作中的有限元模型是采用具有5自由度的8节点二次型单元来建立的.这5个自由度分别是3个平移自由度u,v,w和2个旋转自由度ϕ1,ϕ2,如图2所示.而对于有6个参数的LRT56模型来说,可以通过这5个自由度来表示

2 有限元模型

本工作所建模型考虑了压电材料和几何非线性,为了便于计算,需要进行线性化处理.在t+∆t时刻,应变和电场强度可表示为t时刻的值与增量之和,

图2 单元自由度Fig.2 Degree of freedom for element

对应变和电场强度分别求变分,可得

式中:Bu和Bφ分别表示应变矩阵和电场矩阵;δ表示变分符号;φ表示电势向量.

在t+∆t时刻的内力虚功可表示为

在t+∆t时刻的外力虚功可表示为

式中:Wint和Wext分别表示内力功和外力功;fb,fs和fc分别表示体力向量、面力向量和集中力向量;Q和Qc分别表示表面电荷强度向量和集中电荷强度向量.

根据哈密顿原理

可以得到压电智能结构非线性静力平衡方程和传感器方程为

式中:Kuu,Kuφ,Kφu以及Kφφ分别表示刚度矩阵、压电耦合刚度矩阵、耦合容量矩阵和压电容量矩阵;Fue,Fui,Gφe以及Gφi分别表示外力、平衡力、外加电荷以及平衡电荷;q,Φa和Φs分别表示节点位移向量、致动电压向量和传感器电压向量.

3算 例

3.1 模型验证

为了说明本模型的正确性,通过一种双压电智能悬臂梁结构(见图3)进行验证.该结构首先由Wang等[28]提出并进行了实验以及基于线性理论的计算,之后Yao等[29]基于压电材料非线性和冯卡门几何非线性理论对该结构进行了理论计算.该结构由两片相同的压电片粘合而成,极化方向相反,每片压电片的结构尺寸为35 mm×7 mm×0.5 mm,压电材料选用型号为3203HD的压电陶瓷,具体材料参数如表1所示.本工作提出的有限元模型将双压电智能悬臂梁结构划分为10×2的8节点二维有限元网格.

图3 双压电智能悬臂梁结构Fig.3 Piezoelectric bimorph cantilevered smart beam

表1 材料参数Table 1 Material properties

对上下两片压电材料都从0 V开始每隔7.5 V在厚度方向施加一次电压,最大达到75 V(即最大电场强度为150 V/mm),共10个电压值.利用本工作提出的模型进行计算,得到结构末端Θ3方向的位移,并与文献[28-29]中的实验值和理论计算值进行对比,结果如图4所示.从图中可以看出:LIN5SE模型计算值十分接近实验值,且在较大的电压值处重合;LIN5WE模型计算值与线性理论值也非常吻合.在小电压范围下线性结果与非线性结果接近,但当电压逐渐增大时,线性结果与非线性结果差值越来越大,不适用于大电压情况.基于伯努利梁假设,可以推导出悬臂梁几何线性材料非线性下的末端厚度方向位移理论计算公式为

式中:w表示梁末端Θ3方向位移;l表示梁的长度;t表示双压电悬臂梁的总厚度.计算结果即理论值如表2所示.从表中可以看出,LIN5SE模型结果与理论计算值非常接近,最大偏差仅为3.32%.针对本工作所建模型,通过Abaqus软件进行仿真来进一步验证,结果如图4所示,从图中可以看出所建强电场耦合非线性模型得出的结果与已有研究结果和软件非线性仿真结果更接近.上述结果说明了本模型的正确性,同时在一定程度上也说明了本模型具有更高的准确性.

图4 不同电场强度下结构末端位移Fig.4 Tip displacement of bimorph under various voltages

表2 理论计算与模型末端厚度方向位移比较Table 2 Tip displacements by theoretical calculation and model

3.2 压电智能薄壁结构仿真分析

3.2.1 平板结构

采用如图3所示的双压电智能悬臂梁,通过改变结构厚度来分析所建模型机电耦合非线性的效果.保持结构的长宽不变,材料不变,网格划分不变,设定10组不同的厚度值,即每片压电片从0.1 mm每隔0.1 mm递增至1.0 mm,则总厚度从0.2 mm增加到2.0 mm.对10组厚度不同的结构施加相同的电场强度400 V/mm,以悬臂梁末端的Θ3方向的位移进行比较,通过所建模型计算所得结果如图5所示.

图5不同厚度下的结构末端位移Fig.5 Tip displacement of bimorph under various thickness

图5 结果表明,电压所致的材料非线性对结构的变形影响巨大.圆圈所代表的材料非线性与虚线所代表的材料线性从数值以及变化趋势上都有着显著的差异.可以明确考虑电压所致的材料非线性对结构计算有重大影响.而在该结构中,几何非线性对结构的相应影响较小,如实线所表示的LRT56SE与仅考虑材料非线性的计算结果几乎重叠.

3.2.2 半圆形壳体结构

下面采用本工作提出的非线性模型,计算分析一端固定的半圆形壳体结构(见图6).图中的半圆形结构由中间的主体结构和粘贴在主体结构两侧的压电材料层组成,主体结构使用各向正交异性材料,由4层夹角分别为[45◦/−45◦]s的薄板层合而成,压电材料完全覆盖上下表面,极化方向朝外且相反.结构中性面处的半径为318.31 mm,宽度为50.8 mm,每层的厚度相同,为0.254 mm,即总厚度为1.524 mm.主体材料采用石墨环氧复合材料T300/976,压电材料选用压电陶瓷3203HD,材料参数如表1所示.结构有限元网格划分如图6所示,划分为10×1的8节点有限元网格,图中PZT(piezoelectric ceramic)代表压电陶瓷.

图6 半圆形壳体结构示意图Fig.6 Schematic of semicircular cylindrical shell

分别向结构上下表面的压电材料施加381 V的电压(即1 500V/mm电场强度),采用不同的非线性模型可以得到半圆形结构曲面中心线上有限元节点处的位移如图7所示,横坐标为单位化的半圆弧长度,纵坐标分别为切向位移(hoop displacement)和法向位移(radial displacement).

图7 半圆壳体结构位移Fig.7 Displacement of semicircular cylindrical shell

从图7中可以看出,在强电压情况下,压电材料非线性模型LIN5SE相比于线性模型LIN5WE所得结果差值很大,说明压电材料线性本构关系已不再适用.此外,不同几何非线性模型的计算结果也存在着较大的差异,这是因为不同非线性理论所考虑的几何非线性因素和程度均有所不同.在非线性压电本构关系下,冯卡门非线性模型(RVK5SE)考虑最简化的非线性应变位移关系,其非线性影响最不明显,结果最接近线性计算结果.中等转角简化几何非线性模型(MRT5SE)和中等转角几何全非线性模型(LRT5SE)所考虑的非线性非常相似,因此二者结果近似.在强电场下的6参数大转角几何全非线性模型(LRT56SE)不仅考虑了大转角几何全非线性,还考虑了压电材料非线性本构关系,相比之下结果最为准确.

4 结论

(1)同时考虑电致材料非线性和几何非线性,建立了压电智能薄壁结构非线性有限元模型,并通过已有研究的实验数据验证了本模型的准确性,表明本模型能准确描述压电智能薄壁结构发生大变形大转角的情况.

(2)电致材料非线性因素会影响压电智能薄壁结构在强电场下的变形,且通过仿真发现这种影响相当大,不可忽略.

(3)基于一阶剪切变形假设,利用不同的几何非线性模型(RVK5,MRT5,LRT5和LRT56)进行计算,其中基于LRT56的非线性模型考虑了大变形情况下的全几何非线性,在大变形大转角情况下结果更加准确.