矩阵分解的应用浅述

金少华　徐勇　程俊明

【摘要】矩阵论既是数学的一个重要分支，又是一门具有实用价值的数学理论.本文给出了矩阵分解的若干应用.

【关键词】矩阵论;正规矩阵分解;满秩分解;奇异值分解;特征值

【基金项目】河北工业大学研究生《矩阵论》示范课程建设项目（121031）;2019年河北省研究生示范课程立项建设项目（KCJSX2019011）

《矩阵论》是工科研究生的一门重要的学位课（参见文献[1]-[4]）.本文给出了矩阵分解的若干应用.

一、利用正规矩阵的分解计算矩阵函数

例1 设矩阵A=100-101-100-110-1001，试求eA，cos A.

解 对于正规矩阵A，可求得P-1AP=Λ，其中

P=1001011001-10100-1，  Λ=0022，  P-1=12P，于是

eA[ZK（]=P11e2e2P-1=121+e21-e21+e21-e21-e21+e21-e21+e2.[ZK）]

cos A=P11cos 2cos 2P-1=121+cos 21-cos 21+cos 21-cos 21-cos 21+cos 21-cos 21+cos 2.

二、利用矩阵的满秩分解求矩阵的特征根

设n阶方阵A的满秩分解为A=F·G，则由文献[5]，有

|λEn-A|=|λEn-F·G|=λn-rλEr-G·F.（1）

因此，若A的秩rn，则可通过（1）式右边的行列式来求A的特征根，这将大大简化计算.

例2 求n阶矩阵A=22…222…222…2 的特征值.

解 容易看到，矩阵A的秩为1，其满秩分解为A=22211…1，由等式（1），得 |λEn-A|=λn-1（λ-2n），所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=…=λn-1=0，λn=2n.

三、利用矩阵A的满秩分解求解齐次线性方程组AX=0

结论1[6] 设矩阵A的满秩分解为A=F·G，则 GX=0AX=0.

例3 求解方程组AX=0，其中A=14-1562000-14-1-2-4011-2-1-1-6.

解 先做A的满秩分解.对A进行行的初等变换，有

A→1000-70100-900106000111，

所以，矩阵A的满秩分解为A=F·G=14-152000-1-2-401-2-1-11000-70100-900106000111.解方程组GX=0，得方程组AX=0的通解为X=k79-6-111，k∈R.

四、利用矩阵A的满秩分解求其广义逆A+

例4 已知A=1i-i0i-1111i-i0，求其广义逆A+.

解 对A进行行的初等变换，有A→1i-i000010000，

得A的满秩分解为A=10i1101i-i00001=F·G.

于是A+[ZK（]=G+F+=GHGGH-1FHF-1FH=16101-i0-ii0i-3i6-3i.[ZK）]

五、利用矩阵A的奇异值分解求其广义逆A+

设矩阵A的奇异值分解为A=Uσ1σr00VH，则A+=Vσ-11σ-1r00n×mUH.

例5 设A=111111，求A 的广义逆A+.

解 首先注意到A的秩为1，AAT的特征值是λ1=6，λ2=0，由两两正交的单位特征向量构成的正交矩阵可取为U=121-111，又ATA的特征值是λ1=6，λ2=0，λ3=0，由两两正交的单位特征向量构成的正交矩阵可取为V=33-12-163312-1633026，则A的奇异值分解为A=U600000VT，

从而A+=V1600000UT=16111111.

六、应用奇异值分解求解方程组AX=0

设矩阵A∈Rm×nr的奇异值分解为A=UDVT，D=Σ000，其中矩阵U是m阶正交矩阵，矩阵V是n阶正交矩阵，Σ=diag（σ1，σ2，…，σr）.于是方程组Ax=0可写为UDVTx=0.该方程两边左乘UT，得DVTx=0.令VTx=y，则有Dy=0，从而该方程组的通解为

y=k1er+1+…+kn-ren（k1，…，kn-r∈R）.

设正交矩阵V的第j个列向量为vj（j=1，2，…，n），则AX=0的通解为：

x=Vy=k1vr+1+…+kn-rvn（k1，…，kn-r∈R）.

即求出矩阵ATA的属于特征根0的线性无关的特征向量，则这些特征向量的任意线性组合即为Ax=0的通解[6].

例6 求解方程组AX=0，其中A=-112-221-1-2011-2.

解 ATA的属于特征根0的线性无关的特征向量为：ξ1=1-110，ξ2=0201，则方程组AX=0的通解为x=k1ξ1+k2ξ2（k1，k2∈R）.

七、利用矩阵A的广义逆A+求解方程组Ax=b

对于给定的方程组Ax=b，只要求出A+，则A+b便给出了该方程组的各种意义下的解，即当Ax=b相容时，A+b或为其唯一解，或为其唯一的极小范数解，而当Ax=b不相容时，A+b或为其唯一最小二乘解，或为其唯一的极小最小二乘解.从而广义逆A+将方程组Ax=b的求解问题从理论上及方法上都圆满解决了.

例7 已知A=101011112， b=111，求方程组Ax=b的极小范数解或极小范数最小二乘解x0，并指出x0的类型.

解 对A进行行的初等变换，有A→101011000，

得A的满秩分解为A=100111101011=F·G.

于是A+[ZK（]=G+F+=GTGGT-1FTF-1FT=195-41-451112.[ZK）]

所求x0=A+b=19224， 因AA+b=23112≠b， 故x0是极小范数最小二乘解.

例8 已知A=110101101211，b=314，求方程组Ax=b的极小范数解或极小范数最小二乘解x0，并指出x0 的类型.

解 先求广义逆A+，对A进行行的初等变换，有故Ax=b有解，其极小范数解为x0=A+b=（1 1 0 1）T.

【参考文献】

[1]徐仲，张凯院，陆全，等.矩阵论简明教程[M].北京：科学出版社，2014.

[2]张绍飞，姚慕生.矩阵论教程[M].北京：机械出版社，2012.

[3]靳全勤.初等变换的一个应用：矩阵的满秩分解[J].大学数学，2009，25（5）：195-197.

[4]金少华，徐勇，金大永.矩阵论教学的几点注记[J].数学学习与研究，2019（23）：13.

[5]同济大学应用数学系.高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6]金少华，金大永，徐勇.矩陣分解在求解线性方程组中的应用[J].高师理科学刊，2016，36（4）：61.