高考数学立体几何试题探究思考与体会

徐胜

【摘要】立體几何是高中数学的重点知识，有着举足轻重的作用，而线面关系证明和线面角的求解是近几年高考热点.本文将从数和形的角度分析，列举寻找线面角的各种途径，把握数学核心本质，帮助学生突破难点，遨游立体几何.

【关键词】立体几何;线面角

立体几何是高中数学的主干内容，也是历年高考数学命题的重要考点之一，其通过丰富的几何载体，考查学生对空间基本图形的位置关系的掌握，尤其是平行和垂直关系的判断和证明，以及线线、线面、面面角等度量关系的计算是不变的主题和方向.近三年来，浙江省数学高考随着文理合卷的新变化，对立体几何的命题在注重基础、突出重点、体现数学本质和核心素养方面做了积极的探索和实践，形成了简洁独特的命题风格.下面笔者以2019年浙江省高考数学第19题为例，就本题的求解策略、背景及教学价值谈谈自己的思考和体会.

一、原题呈现

（2019年浙江省高考数学第19题）如图1，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：EF⊥BC;

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

本题主要考查立体几何的核心内容：垂直关系的证明及线面角的计算.题目背景是熟悉的斜三棱柱，两个小题之间存在合理的逻辑关系，证明垂直为寻找线面角铺垫，而线面交点的不确定性，又使该题在常规背景下有所创新.命题者希望通过本题的考查，检测学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.试题的设计注重基础性，主要表现在熟悉的图形，阶梯式设计;解法上注重通性通法，主要体现在几何法、坐标法，注重考查学生分析问题、解决问题的能力.

二、解法探究

英国数学家西尔维斯特曾说过：几何看来有时候要领先于分析，但事实上，几何的先行于分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的.几何也好，分析也罢，都是解决问题的重要方法，形可直观，数可入微，数形结合，突破几何.

1.第一小题解法

解 （1）连接A1E，∵A1A=AC，E为中点，∴A1E⊥AC，

面A1ACC1⊥面ABC，面A1ACC1∩面ABC=AC，

∴A1E⊥面ABC，

∴A1E⊥BC.∵AB⊥BC，AB∥A1F，

∴A1F⊥BC，∴BC⊥面A1EF，∴BC⊥EF.

点评：要证明线线垂直，方法多样，本题容易想到用线面垂直来证明线线垂直，而要判定线面垂直，又需要用到条件所给面面垂直性质定理，证明过程体现了三种垂直关系的转化思想.

2.第二小题求线面角

本题的一大亮点和难点是直线与平面的交点位置不明确，斜足未定，给找线面角增加了一定的困难，在线面角不容易被发现的时候，容易想到用空间向量法来求值.

解法1（空间向量法）

用空间向量法来展开研究立体几何中的线面关系，求空间角、距离等问题，这是数形结合的继续，是现代的“数学双基”.用空间向量有效避开了找线面角的难点，本题第一问也可以用向量的方法来解决，在平常的教学中要注意模型化.

解法2（几何法1：找垂面）

（2）取BC中点M，连接FM，EM，A1M.（图略）∵E为AC中点，∴EM∥AB，则EM⊥BC，易证四边形A1EMF为矩形.又由（1）知，EF⊥BC，∴BC⊥面A1EMF，∴面A1BC⊥面A1EMF，

设EF与A1M交于点N.∴EF在面A1BC上的射影为MN，即直线EF和面A1BC所成角为∠ENM.设AC=2，计算EN=154，MN=154，EM=32，由余弦定理，得cos∠ENM=35.

点评：要找线面角，关键是找线在面内的射影，可通过作经过线的垂面，从而找到两个面的交线，就是线在面内的射影.

解法3（几何法2：直接找垂线）

（2）取BC中点M，连接EM，B1M，过B1作B1O⊥A1M于点O.（如图2所示）

图2由A1F∥EM，A1F=EM，且A1E⊥EM，易知四边形A1EMF为矩形.由（1）知，BC⊥面A1EF，∵EH面A1EF，∴BC⊥EH，又∵A1M∩BC=M，∴EH⊥面A1BC，∴EH与面A1BC所成角为∠ENH.设AC=2，算得EM=32，A1M=152，EN=154，在△A1EM中用等面积法，可得EH=155，sin∠ENH=EHEN=45，∴cos∠ENH=35.

解法4（几何法3：平移斜线找垂线）

（2）取BC中点M，连接EM，B1M，过B1作B1O⊥A1M.（图略）易知EM∥FB1，EM=FB1，∴四边形FEMB1为平行四边形，∴EF∥MB1.

由（1）知，BC⊥面A1EF，B1O面A1EF，∴MB1与A1BC所成角即为∠B1MO.∵EF∥MB1，∴EF与面A1BC所成角即为∠B1MO.计算得cos∠B1MO=35.

解法5（几何法4：等体积法）

（2）过点E作EH⊥面A1BC，记EF∩面A1BC=O，则∠EOH为EF与面A1BC所成角.（图略）设AC=2，则BC=1，AB=3，EA1=3.计算得S△A1BC=154，S△EBC=34，由VE-A1BC=VA1-EBC，得EH=155.作BC中点M，连接B1M，FM，EM，由（1）知BC⊥面A1EMF，易得四边形A1EMF为矩形，从而O为EF中点，∴OE=12EF=154，∴sin∠EOH=45，cos∠EOH=35，即EF与面A1BC所成角的余弦值为35.

点评：要求线面角，关键在于先找到线面角，根据线面角的定义，必须先找到线在面内的射影，要找射影，可通过经过斜线作垂面或者过斜线上一点作面的垂线得到，而要作出这条垂线，又需在垂面当中去寻找.在探寻线面角的过程中，需要学生通过几何体的结构特征形成直观想象，学会有逻辑地思考和推理，养成正确的思维方式，提高数学核心素养.

三、追根溯源

本题从命题意图上较好地体现了《浙江省普通高中学科指导意见》和《普通高中数学课程标准》的导向作用.立体几何的重点是提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养.课本人教2017版必修二第66页对线面角有明确的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.书本中例题2对线面角的求解过程也是根据定义先作出辅助线，再根据定义找到线在面内的射影，进而求解计算.要求线面角，关键要找线在面上的射影，那么如何突破呢？关键在于先找垂面再找垂线.

四、变式拓展

基于以上思考，将原高考题做如下变式：

变式1 （图略）在四棱锥C-A1ABB1中，平面A1AC⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

分析：本题截去原题中的三棱锥，其他条件，所求不变，变换图形背景以四棱锥为载体，给学生的不同思维方式提供发挥的空间.

变式2 （图略）在直角梯形A1ABC中，已知∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，现将梯形沿AC翻折，使二面角A1-AC-B为直二面角，E，F分别是AB，A1C的中点.求直线EF与平面A1AC所成角的正弦值.

分析：翻折问题.从平面图形到空间图形的变化，对学生空间直观想象能力提出更高要求.寻找线面角知，需要在平面ABC中过E作ED⊥AC，易证射影为DF，∴∠EFD为所求角.

五、考题追踪

立体几何主要考查两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题要熟练掌握公理、定理、定义之间的逻辑关系;另一类问题是空间角的计算，如线面角、二面角等，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、化归与转化能力和运算求解能力等.纵观近几年浙江卷立体几何高考题，虽题目背景不同，题型却都类似，知识考查全面，解法灵活多样，本题的解法在以往高考题中也有较好的表现.

（2018年浙江高考数学19题）

已知多面体ABC-A1B1C1，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2.

（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1;（2）求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值.

分析：（1）通过计算，由勾股定理得到线线垂直，从而证明线面垂直.（2）由（1）得面A1ABB1⊥面A1B1C1，延长A1B1，

过C1作C1D⊥A1B1，

∴∠C1AD为所求角，再计算求值.

（2017年浙江高考数学19题）

已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD中点.（1）证明：CE∥平面PAB;（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

由上面三道高考题可以看出，无论背景、图形、条件怎样变化，始终不变的是垂面与垂线，找垂面、作垂线是解决这一类问题的关键，教师在平常的教学中应在关键处下功夫.

【参考文献】

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.