构造函数证明数列不等式问题

朱东海

(云南省蒙自市第一高级中学 661199)

在本刊2016年第34期、2018年第10期、2019年第13期中，我们分别谈了一元函数不等式、二元函数不等式和与零点有关的函数不等式的证明方法，本文中我们来看如何构造函数证明数列不等式.

一、项与项之间的不等关系

对项与项之间的不等关系可以先将不等式变形后，直接把正整数n换成x,转化为一元函数不等式来证明.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设m>0，求f(x)在区间[m,2m]上的最大值；

解(1)f(x)的定义域为(0,+)，

所以函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+)上单调递减.

(3)由①知，当x∈(0,+)时，所以在(0,+)上，恒有即且当x=e时等号成立.

因此，对∀x∈(0,+)，恒有

二、数列的前n项的和与f(n)的不等关系

1.f(n)不是常数

若f(n)不是常数，则把f(n)看成数列{bn}的前n项的和，求出数列{bn}的通项公式，再用作差或导数等方法证明an与bn的大小关系，最后累加就能得出结论.

而n≥2时

令f(x)=3x+2-2x(x+1)(x≥2)，则有f′(x)=3xln3-4x-2>3x-4x-2.再设

g(x)=3x-4x-2(x≥3)，g′(x)=3xln3-4>3x-4>0(x≥3)，

∴g(x)在[3,+)是增函数.但g(3)=13,因此当x≥3时，g(x)>0,

也就是说当x≥3时，f′(x)=3xln3-4x-2>g(x)>0，f(x)在[3,+)是增函数，

∵f(3)=25，当x≥3时∴f(x)>0，即n≥3时an>bn.

∴a1+a2>b1+b2.

又当n≥3时an>bn,

在证明an与bn的大小关系时，若能变形，则先变形后再证明.

当n≥2时,bn=1+ln(n+1)-ln(n+2)，我们只需证明当n≥2时an

令f(x)=ln(1+x)-x(x>0),

而f(0)=ln1-0=0，∴当x>0时ln(1+x)

2.若f(n)是常数

若f(n)是常数，则利用当n取第一个数时，不等式两边之差来加强不等式，再用上述方法证明.

例3 (2008年辽宁高考题第二问)已知an=n(n+1),bn=(n+1)2(n∈N*)，

∵(n+1)(2n+1)-(n+2)(n+3)=n2-2n-5=(n-1)2-6,

三、数列{an}的前n项的积与f(n) 的不等关系

对于数列{an}的前n项的积与f(n) 的不等关系的证明的一般方法是，把f(n)看成数列{bn}的前n项的积，求出数列{bn}的通项公式，再借助作差或导数等办法来比较an与bn的大小.

而当n≥3时,

∴a4>b3,a5>b4,…,an>bn-1.又a3>an+1>bn,

∴a2>T2,则有a2a3…an>T2b3…bn.