线性目标函数的几种“变式”及相应最值的求法

谯用

【摘要】在线性规划问题中，我们常常会遇到非线性目标函数的问题，遇到这类问题，我们该如何处理呢？

【关键词】线性规划;目标函数;几种变式

线性规划是优化的具体模型之一.在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决简单的线性规划问题，不必引入很多名词.在《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》中，对线性规划有这样的描述：“对线性规划仍以考查线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，如利用代数式的几何意义（距离、斜率、面积等）求最值”.基于此，我们说目标函数存在几种变式.

例1 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，在A，B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用时数分别為400和500.如何安排生产可使收入最大？

这个问题的数学模型是二元线性规划，要求从实际问题中抽象出简单的二元线性规划问题，然后加以解决.

解 设甲、乙两种产品分别生产x，y件，约束条件是

x+2y≤400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，

目标函数是z=3x+2y.

要求出适当的x，y，使得z=3x+2y取得最大值，要先画出可行域，如图所示，考虑3x+2y=a，a是参数，将它变形为y=-32x+a2，这是斜率为-32、随a变化的一组直线.a2是直线在y轴上的截距，当a2最大时a最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.

在这个问题中，使3x+2y取得最大值的（x，y）是两直线2x+y=500与x+2y=400的交点（200，100）.因此，甲、乙两种产品分别生产200，100件时，可得最大收入为800千元.

本例中目标函数是线性的，下面谈谈几种变式.

变式一：含参数型目标函数，形如y=ax+y

例2 （2013年高考全国题）记不等式组x≥0，x+3y≥3，3x+y≤3， 所表示的平面区域为D.若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是.

解 题中不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.因为直线y=a（x+1）过定点A（-1，0），由图结合题意可知kAB=37，kAC=3.所以要使直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点，则37≤a≤3.其实是将问题转化为直线的斜率的取值范围来求.

变式二：斜率型目标函数，形如z=y-bx-a

例3 已知y≥0，y≤2x，y≤4-2x， 求z=y+2x+2的取值范围.

解 题中不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.z=y+2x+2表示可行域内的点与点A（-2，-2）连线的斜率.图中kAB=12，kAC=43，所以z的取值范围是12≤z≤43.

变式三：距离型目标函数

d=|Ax+By+C|A2+B2或

d=（x-a）2+（y-b）2

例4 （2013年高考北京题）设D为不等式组x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0 表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为.

解 题中不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为点（1，0）到直线2x-y=0的距离，点（1，0）到直线2x-y=0的距离为255，所以区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为255.

变式：设D为不等式组x≥0，2x-y≤0，x+y-3≤0， 表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最大值为.

这是两种不同的距离，前者为点到直线的距离，后者为两点间的距离.

总之，无论我们遇上什么样的目标函数，只要抓住其几何特征，认真体会其数学思想，就可以顺利地解决问题.