多维沟通：让模型思想培养落地生根

周虹

[摘 要]学生的知识是散点式的，通过有效沟通知识之间的联系，可以帮助学生主动建构知识网络，从而更好地抓住概念的本质，提升整体把握数学知识的能力。

[关键词]沟通;模型;理解

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）05-0032-02

【课前思考】

通过学习人教版教材五年级下册“长方体和正方体”，一方面，学生将公式“长方体体积=长×宽×高”熟记于心，而对公式“体积=底面积×高”比较陌生;另一方面，大部分学生认为只有长方体、正方体才能用体积公式计算，遇到底面为梯形、三角形的柱体就无从下手。这说明学生对于体积公式的理解依然处在记忆层面，只关注到体积计算的形，而忽视了对体积的本质理解。因此，在练习课中，教师要在沟通上做文章，打破学生的思维定式，通过多维度沟通，帮助学生更好地理解体积的本质，建立知识网络。

【教学过程】

一、第一次沟通：沟通体积公式间的关系

1.感受面动成体的过程

师：这是一个长方形，把它向上平移2厘米，扫过的区域是个怎样的形状？

生（齐）：长方体。（师课件验证）

2.回顾并沟通体积计算公式的关系

师：回忆长方体的体积公式，这几个体积公式可以概括成哪一个公式？

生1：用a×b表示底面的面积（S底），则长方体体积公式可以概括成V=S底h。

生2：用b×h表示左面的面积（S左），那么高就是a，则V=S左×a。（师课件演示）

师：用a×h表示正面的面积，那么高就是？（生3：b），则V=S正×b。（师课件演示）

师：原来“底面积×高”中的底面积不单表示底面的面积，还可以表示任意一个面的面积，只要乘上与这个面垂直的棱的长度，都可以计算体积。

【教学思考：旨在沟通体积计算公式间的联系，通过问题“这几个体积公式可以概括成哪一个公式？”引发学生思考，促进对体积公式的本质理解。借助几何直观，引导学生对体积计算公式进行联系、沟通，帮助学生顺利打通V=abh与V=Sh间的关系，理解长方体体积计算的本质就是某一个面的面积乘上与这个面垂直的棱的长度。】

二、第二次沟通：沟通体积计算方法间的联系

1.自主尝试计算柱体的体积

师：这是一个由大正方形剪去一个小正方形后得到的多边形（如图1实线部分）。想一想，如果把这个多边形向上平移5厘米，扫过的区域是什么形状？（师课件演示）

师：你能求这个立体图形的体积吗？有几种方法？

2.柱体体积计算方法交流

生1：把这个立体图形看成由两个长方体组合而成，则该立体图形的体积=2×2×5+4×2×5 。

生2：把这个立体图形看成一个大长方体减去一个小长方体，则该立体图形的体积=4×4×5-2×2×5。

生3：用两个这样的立体图形可以拼成一个大长方体，则该立体图形的体积=（4+2）×4×5÷2。

生4：用底面积乘高来计算它的体积。因为这个立体图形是由一个多边形向上平移后得到的，则该立体图形的体积=（4×4-2×2）×5。

师：观察这些计算方法，你有什么发现？

生5：每种方法都有“×5”，即表示“×高”。

师：那么算式的其他部分表示什么？我们利用运算定律给这些算式变形，看看能发现什么？如算式2×2×5+4×2×5，根据乘法分配律可写成（2×2+4×2）×5。

生6：同理，算式4×4×5-2×2×5可写成（4×4-2×2）×5。

生7：根据乘法交换律，算式（4+2）×4×5÷2可写成（4+2）×4÷2×5。

生8：我发现变形后的算式，“×5”就是指乘高，算式前面部分就是求底面积。

师：是吗？如4×2+2×2是指哪一部分的面积？

生9：底面是长方形和正方形拼成的组合图形的面积。

生10：4×4-2×2可看成底面是大正方形减去小正方形后的面积。

师：虽然这几种算法不同，但是它们都有“×5”，就是乘高，而算式前面部分都在求底面积，所以求这个立体图形的体积其实就是底面积乘高。（板书完善）

师：可以把图2中涂色的这个面当成底面，用底面积乘高求它的体积吗？为什么？

生11：不能。如果把这个长方形当底面，向后平移后底面不一样了。

师：那么底面应该有什么特点？

生12：底面应该有与之相对且大小形状都相等的面。

师：看来不是所有的面都可以当底面。想一想，哪些立体图形的体积可以直接用底面积乘高来解决？

（学生解答）

师：能直接用底面积乘高计算体积的立体图形，它们和长方体一样，都可以看成由一个底面向一定的方向平移扫过的空间，我们把它们叫作柱体，柱体的体积用底面积乘高计算。

【教学思考：学生通过“自主计算—比较沟通—得出通式”三个步骤深刻理解“体积=底面积×高”的本质，实现了从长方体到一般柱体的贯通，有效迁移学习和建构知识，做到了举一反三、触类旁通。】

三、第三次沟通：渗透模型思想

问题1：（如图3）校门口绿化带上建了一排长和宽为1m，高为50cm的正方形花坛，并在花坛内距各边15cm處挖一个底面是正方形的长方体坑用于种树，请问一个这样的花坛需要多少石料？

生1：将花坛的体积看成4个长方体体积的和来计算，列式是15×（100-2×15）×50×2+100×15×50×2。

生2：用大长方体体积减去挖掉的小长方体体积，就是石料的体积，列式是100×100×50-70×70×50。

师：这样列式其他同学看得明白吗？

生3：生2用底面积乘高来计算。因为这个花坛可以看成底面是100×100-70×70的形状向上平移50cm所形成的图形。

师：如图4所示，就是我们之前研究过的柱体。看来在解决问题时，要善于联系，找一找这是我们学过的哪个数学模型，这样解决起来就容易了。

问题2：如图5所示，A容器中装有60dm?水，水面高7.5dm，倒一部分水到B容器，使A、B容器的水面一样高，这时水面的高度是多少？（学生独立练习）

生1：因为A容器的底面积是B容器的2倍，当A、B容器的水面一样高时，A容器所装水的体积是B容器所装水的体积的2倍，这样只需把原来A容器中的水平均分成3份，B容器占1份，所以算式是60÷3=20（dm?），20×1÷（2×2）=5（dm）。

生2：也可以这样算，7.5÷3=2.5（dm），2.5×2=5（dm）。

生3：要使A、B容器的水面一样高，A容器里水的形状是个柱体，B容器里水的形状也是个柱体，拼在一起还是个柱体，那么60÷（4×2+2×2）=5（dm）。

师（出示图6）：这样拼呢？这三种情况都能用“体积÷底面积=高”来计算吗？为什么？

生3：怎么拼都是一个柱体，都可以用“体积÷底面积=高”来计算。

师：看来我们要学会联系，都是柱体，都可以用体积除以底面积来解决问题。

生4：还可以列方程求解。设水面高xdm，4×2×x+2×2×x=60，x=60÷（4×2+2×2），x=5。

师：这个方程中也有“体积÷底面积”，你找到了吗？

生4：60÷（4×2+2×2）。

师：在解决实际问题时，一定要学会找到我们熟悉的数学模型。

【教学思考：重在沟通数学与生活的联系，提高数学学习的应用价值。在日常学习中，现实问题与数学模型是割裂的，因此本环节提供两个现实问题，让学生自觉运用模型，运用柱体体积公式解决问题，实现“数学模型—现实问题”的转化，感受到运用模型思想解题的优越性与便捷性。】

四、自主回顾，感受沟通的作用

師：今天这节课你有什么收获？

生1：我发现不仅长方体、正方体的体积可以用底面积乘高来计算，其他柱体的体积也可以用底面积乘高解决。

生2：解决问题时要善于联系，看看是我们学过的什么数学问题。

师：是的，数学很多知识、方法都是相通的，我们要善于联系、沟通，学会找数学模型，这样解决问题就会很简单许多。

【教学思考：通过自主回顾，让学生产生顿悟感，强化其对学习方法的理解，学会用沟通的思想去解决问题，打通知识、贯通方法和沟通问题，从而体会到数学学习的魅力。】

（责编 李琪琦）