基于分数阶GM(1,1)模型的人口总量预测

(重庆工商大学 重庆 400067)

一、分数阶GM(1,1)模型

分数阶GM(1,1)模型是基于互逆的分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子，将GM(1,1)经典灰色预测模型的建模数据从一阶累加生成算子拓展到分数阶累加生成算子，建立的分数阶算子灰色预测模型，并通过粒子群优化算法，给出该模型在最小平均相对误差、最小均方误差下的最优阶数。

(一)分数阶累加与累减生成算子

定义1[1]设X(0)为原始序列,X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))为X(0)的一阶累加生成算子,其中

(1)

定理1[2]设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))为原始序列,r=R+,

X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))为X(0)的r阶累加生成算子,其中

(2)

定义2[1]设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))为原始序列,X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),…,x(-1)(n))为X(0)的一阶累减生成算子,其中

x(-1)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1),k=1,2,…,n

(3)

定理2[2]设X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))为原始序列,r∈R+,X(-r)=(x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n))为X(0)的r阶累减生成算子,其中

(4)

(二)分数阶GM(1,1)模型

定义3 设X(0)如定义1,X(r)如定理1定义,Z(r)=(z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)),其中,

称

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(5)

为分数阶算子GM(1,1)模型.

特别当r=1时,x(r-1)(k)+az(r)(k)=b变为x(0)(k)+az(1)(k)=b,即均值GM(1,1)模型.

(三)阶数优化粒子群算法

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是由Eberhart和Kennedy于1995年提出的一种全局优化进化算法[3],其基本概念源于对鸟群觅食行为的研究.PSO算法具有概念较简单,需要调整参数不多,易于编程实现等优点,已广泛应用于函数优化和神经网络训练等领域[4]。最小平均相对误差下分数阶算子GM(1,1)模型的最优阶数在于求解如下最优化问题:

(10)

二、基于分数阶GM(1,1)模型的人口总量预测

(一)原始序列长度及种群规模参数的确定

设原始数据序列个数为n,粒子群优化算法中种群规模为N，为了提高模型预测精度，本文从原始数据序列长度和粒子群优化算法中种群规模两个方面对模型进行参数调节，以期得到一个精度相对较高的预测模型。当种群规模N=50、60、70、80，原始数据序列的长度n=5、6、7、8、9、10、11、12、13、14时，分别对我国人口总量进行预测。

分析研究结果，从总体来看，当种群规模一定的情况下，原始数据序列长度对预测精度的影响较大，而当原始序列长度一定时，种群规模大小对预测精度的影响相对较小。当种群规模N分别为50、60、70、80，原始数据序列长度均为n=7时，预测精度最高，因此最优原始序列长度为n=7。当n=7时，种群规模为50时模型模拟精度最高。由此，本文中当n=7，N=50时，分数阶GM(1,1)模型预测精度较高，平均相对误差为0.35%，模拟精度为99.65%，符合灰色系统理论的一级精度要求,可用于对中国未来总人口进行预测。

(二)基于分数阶GM(1,1)模型的人口总量预测

基于以上分析，确定当参数原始序列长度n=7,种群规模N=50时，分数阶GM(1,1)模型预测精度较高。本文构建n=7,N=50的分数阶GM(1,1)模型，选取2009-2015年全国人口总量为原始数据序列，即X0=(133450，134091，134735，135404，136072，136782，137462)，预测2016-2018年的人口总量，预测结果如表2所示。

表2 2016-2018年人口总量预测值(单位：万人)

三、结论与讨论

本文在分数阶GM(1,1)模型的基础上，通过调节原始数据序列长度及粒子群优化算法中种群规模大小两个参数，得到模型模拟精度相对较高的参数，构建分数阶GM(1,1)模型，对全国人口总量进行预测。经过误差检验，调节参数后的分数阶GM(1,1)模型避免了传统分数阶GM(1.1)模型因原始数据序列长度及种群规模大小选取不同而导致的模型模拟精度时高时低的问题，从而能够更加准确地预测人口总量。