一种三棱柱可展单元机构及其自由度分析

郭金伟，许允斗,2，郭路瑶，姚建涛,2，赵永生,2,*

(1.燕山大学 河北省并联机器人与机电系统实验室，河北 秦皇岛 066004；2.先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室(燕山大学)，河北 秦皇岛 066004)

0 引言

大型空间可展机构在通信卫星、深空探测等领域的成功应用及快速发展，引起了越来越多学者的关注及研究。可展机构在储存和运输时处于完全收拢状态，占据较小的空间，而工作时需要完全展开形成航天任务要求的形状和位置等，因此，探索具有大收拢率的新型空间可展机构成为了当今研究热点。

近年来，国内外多所科研机构和相关学者提出并研究了多种空间可展开机构，提出了多种研究方法。中国空间技术研究院西安分院研制的四面体单元构架式可展开天线[1]，突破了该类型天线的展开机构、型面成形与保持等关键技术。浙江大学设计并研制了四面体单元构架式可展天线、六棱柱单元构架式可展天线及单层、双层环形桁架式可展天线，对结构设计、组网形式及展开运动进行了较为全面的分析[2-5]。哈尔滨工业大学在大型空间可展开天线的构型创新设计和地面卸载实验方法等方面做了大量研究工作，已研制出索杆式空间伸展臂和三棱柱单元构架式可展开支撑臂等多个样机[6-9]。西安电子科技大学在环形可展天线及构架式可展开天线的动力学分析、型面精度分析以及仿真、参数化建模等方面取得了突出成果[10-11]。陈向阳等[12-13]提出了一种六棱柱可展单元应用于可展天线的结构设计。杨毅等[14]设计了单自由度四棱锥平板式可展单元并分析了其收拢特性。DING等[15]提出了一种新型的三棱柱可展机构，在航空领域具有潜在应用。李端玲等[16]研究了一种基于剪叉机构的球面可展结构及其运动特性。刘文兰等[17]提出了一种3R-3URU四面体可展单元机构，应用在构架式可展天线上，能够实现完全收拢。XU等[18]针对四面体可展单元机构进行构型综合，提出了多种可展单元机构。

上述文献提出了多种可展单元结构，部分已经成功研制并得到了实际应用。而鉴于我国航天任务的多样需求，仍需提出多种性能优异的新型可展机构。本文提出一种结构简单、收拢率大的新型三棱柱可展单元机构，研究其自由度及运动特性，进一步探索其在大型可展机构中的应用。

1 三棱柱可展单元机构

3RRR-3RR-3RRR三棱柱可展单元机构如图1所示，其由3个下层节点花盘A、B、C，3个上层节点花盘D、E、F，3根腹杆E1、E2、E3和6根同步杆组成。同层花盘之间通过同步杆连接，每根同步杆由两根相同的连杆通过转动副连接组成；不同层花盘之间则通过腹杆连接；3个下层花盘中心处于同一平面上且3个上层花盘处于另一平面上；为便于分析，本文分析的为正三棱柱结构，即设定3根腹杆长度相等，6根同步杆长度相等，且3根腹杆均垂直于3个下层花盘中心所形成的三角形平面。

图1 三棱柱可展单元机构简图

Fig.1 Schematic diagram of the triangular prism deployable unit mechanism

2 三棱柱可展单元自由度分析

2.1 图谱法简介

图谱法[19-20]能够形象直观地表述机构的自由度特性，这里用实线表示转动自由度线，用两端带箭头的实线表示移动自由度线，用虚线表示约束力线，用两端带箭头的虚线表示约束力偶线，如图2所示。

图2 自由度线和约束线

Fig.2 Degree of freedom line and constraint line

当机构中的若干运动副都表示为自由度线形式，应用自由度(约束)的等效原则和Blanding法则[19]，容易得到其对应的约束线图，根据自由度线图与约束线图之间存在的对偶关系，即可得到一般机构的自由度特性。

2.2 自由度分析

在图1所示的三棱柱可展单元机构中，基于图论和螺旋理论，用圆圈表示构件，用线条表示运动副，用带数字的运动矢量表示不同关节处的运动，如用S1表示花盘A和连杆D1的转动副的运动，可以得到三棱柱可展单元机构的结构拓扑图如图3所示，可看成由3个闭环机构B1、B2、B3首尾相连组成，为典型的空间多环耦合机构。

图3 三闭环机构拓扑图

Fig.3 Topological diagram of three closed loop mechanism

文献[21]提出了一种空间多环耦合机构的自由度分析方法——拆杆等效法，应用该方法的拆杆-复原思想，首先选择拆除连接构件BCFE之间的耦合支链，如图4所示。

分别建立耦合构件BCFE相对于机架A之间的等效串联支链，如表1所示。在表1中，以耦合构件B为例，应用图谱法建立其与机架A之间的等效串联支链。首先将B与A之间的连接支链表示成自由度线图的形式，即为沿S1S2S3转动轴线方向的3条实线，该线图的维数为3，根据Blanding法则，其约束线图中存在6-3=3条非冗余线且每条线都会和自由度线图中的所有线相交，因此，约束线图中为空间3条相互平行且独立的约束线，其与自由度线相交于无穷远处。根据线图等效原则，两条平面平行线与一条偶量和一条与该偶量垂直的线等效，可得到等效约束线图，进一步得到构件B和机架A之间的等效支链。同理，根据Blanding法则和线图等效原则，可得到其他构件相对于机架A之间的等效支链。

图4 拆除耦合支链BCFE后的机构简图

Fig.4 Schematic diagram of the mechanism after dismantling the coupled branchBCFE

表1 耦合构件B、C、F、E与机架A之间的等效串联支链

Tab.1 Equivalent series branches between coupling componentsB,C,F,Eand frameA

耦合构件自由度线图约束线图等效约束线图耦合构件与机架A之间的等效支链BCEF

复原被拆除的耦合支链BCFE，如图5所示，则机构仍为多环耦合机构，进一步选择拆除BE之间的腹杆E2，如图6所示。耦合构件E通过两个支链与机架A相连，分别为支链RS19RS10PZPYPX和含单闭环的支链S13S14S15-RS19RS18PZPYPXRS9PACPZS23S24，在单闭环支链RS19RS18PZPYPXRS9PACPZS23S24中，以F为动平台，其通过支链RS19RS18PZPYPX和支链RS9PACPZS23S24和机架A连接，两个支链分别提供给动平台F一个约束力和一个约束力偶，根据图谱法，动平台F和机架A之间可等效为支链Pe1Pe2Re3Re4，此时含单闭环的支链S13S14S15-RS19RS18PZPYPXRS9PACPZS23S24可等效为S13S14S15-Pe1Pe2Re3Re4，该等效支链为满自由度运动链，不提供任何约束，因此，构件E和机架A之间的等效支链为RS19RS18PZPYPX；耦合构件B通过两个支链与机架A相连，分别为支链RS1PABPZ和支链S4S5S6PZPACRS9，根据图谱法，支链S4S5S6PZPACRS9提供给B一个与S4(S5、S6)和S9均垂直的约束力偶，支链RS1PABPZ提供给B一个沿Y轴的约束力和两个分别垂直S1的约束力偶，因此，构件B受到4个线性无关的约束作用，构件B与A之间的支链等效为PABPZ支链，复原被拆除的BE之间的腹杆E2，整体机构的等效机构如图7所示。

图5 复原耦合支链BCFE后的机构简图

Fig.5 Schematic diagram of the mechanism after recovering the coupled branchBCFE

在图7所示等效机构中，以花盘A为机架，以花盘B为动平台，则该等效机构为两分支并联机构，分支PXPYPZRS10RS19S22S21为七自由度运动链，对动平台不提供约束，另一条分支PABPZ提供给动平台1个与AB、AZ均垂直的约束力和3个分别沿X、Y、Z轴的约束力偶。因此，该机构中不存在公共约束和局部自由度，根据修正的G-K公式可计算该机构的自由度数为

6×(9-9-1)+9=3,

(1)

式中，M为机构的自由度数，d为机构的阶数，且d=6-λ，λ表示机构的公共约束数，n为包含机架在内的构件数，g为机构所含运动副个数，fi表示第i个运动副具有的单自由度数，v表示冗余约束数，ξ表示局部自由度数。

图6 拆除耦合支链BE后的机构简图

Fig.6SchematicdiagramofthemechanismafterdismantlingthecoupledbranchBE

图7 三棱柱可展单元机构的等效机构

Fig.7Equivalentmechanismofthetriangularprismdeployableunitmechanism

花盘B相对于花盘A具有相对移动和沿Z轴的移动，同理，花盘C相对于花盘A也具有相对移动和沿Z轴的移动，因此，给三棱柱可展单元的自由度可表述为上层花盘之间的独立收展运动、下层花盘之间的独立收展运动和同层花盘之间沿Z轴(腹杆轴线)的相对移动。

3 运动仿真及收拢特性分析

3.1 自由度仿真验证

为了验证上述正三棱柱可展单元机构的自由度分析，基于ADAMS的运动学仿真分析软件建立该机构的仿真模型，如图8所示的机构为完全展开状态模型。由于机构完全展开状态为边界奇异位形，需要添加多个驱动使其运动到中间展开位形，如图9所示。通过添加不同的驱动方式，分别验证机构的3个自由度。

图8 完全展开状态时的三棱柱单元仿真模型

Fig.8 Simulation model of the triangular prism unit in fully unfolding state

图9 中间展开状态时的三棱柱单元仿真模型

Fig.9 Simulation model of the three prism triangular prism unit in middle unfolding state

当固定3个下层花盘时，选择上层任意一个同步杆添加转动驱动速度为0.5°/s时，上层花盘相互靠拢，同步杆折叠，腹杆跟随花盘摆动，最终收拢状态如图10(a)所示。当固定3个上层花盘时，选择下层任意一个同步杆添加转动驱动速度为0.5°/s时，下层花盘相互靠拢，同步杆折叠，腹杆跟随花盘摆动，最终收拢状态如图10(b)所示。当同时选择上、下层任意一个同步杆添加转动驱动速度为0.5°/s时，机构的最终收拢状态如图10(c)所示。此时，上、下层花盘相互靠拢，同步杆折叠，腹杆仍处于竖直状态并相互靠拢，为机构的最小收拢体积。若要保证机构收拢状态为最小收拢体积，则添加的两个驱动必须大小相等。因此，验证了该机构的两个收拢自由度。

图10 机构的收拢自由度

Fig.10 The folding DOF of the mechanism

为了验证同层花盘之间沿Z轴(腹杆轴线)的相对移动自由度，选择下层其中一个花盘中心施加一个沿Z轴方向的外力，则该花盘及其连接的腹杆在外力的作用下会相对其他花盘沿Z轴移动，如图11所示，该自由度的存在降低了机构整体的稳定性。若将该正三棱柱改为三棱台机构，即上、下层3个花盘中心所形成的三角形口径大小不同，3根腹杆轴线不再相互平行且竖直，如图12所示。根据第2节中对正三棱柱的自由度分析，该三棱台仅仅具有两个收拢自由度，通过设置合理的驱动值，同样可以达到图10(c)所示的收拢状态。

图11 上、下层花盘之间的移动自由度

Fig.11 The degree of freedom of movement between upper and lower discs

图12 三棱台机构

Fig.12 Truncated triangular pyramid mechanism

3.2 收拢率分析

正三棱柱可展单元具有良好的收展特性，且具有较大的收拢率，图13为正三棱柱单元在完全展开和完全收拢状态模型图。可展机构的收拢率表示为完全展开状态下机构所占空间体积V0与完全收拢状态下机构所占空间体积V1的比值λ。因此，该正三棱柱的收拢率为

(2)

式中，R0和R1分别为完全展开和完全收拢状态下底面包络圆半径，且R0=0.46 mm，R1=0.157 7 mm。

图13 正三棱柱单元在完全展开和完全收拢状态模型图

Fig.13 Model diagram of positive triangular prism unit in fully unfolding and fully folding state

4 结论

1)提出一种新型三棱柱可展单元机构，应用拆杆-复原思想、图谱法和G-K公式分析得到三棱柱可展单元机构的自由度数目和性质。本文的分析方法形象直观，避免了复杂的公式推导计算，为此类复杂的空间多闭环机构的自由度分析提供了一个较好的参考。

2)仿真分析表明，该正三棱柱可展单元机构具有两个收拢自由度和一个沿腹杆轴线方向的相对移动自由度。验证了理论分析正确性。

3)计算得到正三棱柱可展单元的收拢率为8.508 5，该机构各构件之间仅通过转动副连接，结构简单、可展性良好，在伸展臂等大型空间可展装备的设计制造方面具有良好的应用前景。