康托和柯西究竟谁对

张喜安

【摘 要】 康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等。关于部分可以和全体相等，康托将[0，1]的基数定义为c，并且认为c+c+c=c，也就是说，康托的这种无穷数不遵守算术公理。对于康托的上述观点，法国著名数学家柯西认为，这是自相矛盾的。但是康托却认为，无论数学家们曾经做过什么样的假定，我们都不应认为有穷的性质可以适用于无穷的各种情况。这也就是说，在康托看来，有穷的数遵守算术公理，而无穷的数就不一定遵守算术公理。本文将证明，柯西的观点是正确的，而康托的观点则是错误的。

【关键词】 柯西;认为;康托集合论;自相矛盾

为了论述方便，我们首先引述康托集合论的两个集合间一一对应的定义如下：

定义 如果存在函数y=f（x）为集合A→B的双射函数，那么集合A和B为一一对应的关系。

前面已经指出，康托集合论的基本观点是，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等，而这正是康托集合论的一个定理，本文称这个定理为康托集合论的基本定理。现在，我们把这个定理及其证明引述如下：

康托集合论基本定理 令a，b为实数，且a

证明：令y=f（x）=a+（b-a）x，显然，y=f（x）为[0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

为了使论述简单明了，我們取一种具体的情况，即令a=0，b=2，于是得到集合[0，2]。根据康托集合论的基本定理，存在y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，因此，[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。请注意，无穷集合[0，1]是[0，2]的真子集，并且[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，这些是已知条件。

现在假定[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，这时，[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质就存在相同和不同两种情况。如果[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质相同，则根据集合论的外延公理：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么A=B。因此，[0，1]=[0，2]，这显然和客观事实矛盾。如果[0，1]和[0，2]互相对应的元素的性质不同，那么[0，1]不是[0，2]的子集，因此，[0，1]也就不是[0，2]的真子集，这和已知条件矛盾。于是得出结论，[0，1]和[0，2]不可能是一一对应的关系，而只能是非一一对应的关系。这说明，我们根据康托集合论的基本定理和它的已知条件就可以得出和康托集合论的基本定理相反的结果，因此可以说，康托集合论的基本定理是自相矛盾的，康托集合论也就是一个自相矛盾的理论，或者说，柯西是正确的，而康托则是错误的。

文章写到这里，疑问就来了，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，则[0，1]和[0，2]就是一一对应的关系，这又如何解释？这个问题是一个困难的问题，我们首先给出一个一般的回答，一方面，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，而另一方面，正是由函数y=2x的存在，改变了已知条件。具体地讲，在已知的条件中，[0，1]和[0，2]是两个实数点的集合，由于函数y=2x 的存在，使这两个实数点的集合变成另外两个非实数点的集合，所以才产生了上面的疑问，如果我们考虑到这种情况，上面的证明就是完全正确的。下面我们就来回答为什么由于函数y=2x的存在，使两个实数点的集合[0，1]和[0，2]变成另外两个非实数点的集合。

现在我们令y=2x=t，其中，t表示时间，单位为米/秒，y和x表示路程，单位为米。由于y=2x=t，则y轴和x轴上的点的运动速度分别为=1米/秒，=米/秒。现在让[0，1]和[0，2]在不同的坐标轴上，例如让[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上。因为y轴上点的运动速度是x轴上的点的运动速度的两倍，这时[0，1]和[0，2]就一定是一一对应的关系，函数y=2x也就是[0，1]→[0，2]的双射函数。如果让[0，1]和[0，2]都在x轴上，那么[0，1]和[0，2]上的点的运动速度相同，所以它们就一定是非一一对应的关系，这时函数y=2x就不是[0，1]→[0，2]的双射函数。康托只看到由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，因此[0，1]和[0，2]为一一对应的关系，但是康托却不知道，由于函数y=2x的存在，使得[0，1]和[0，2]上的点具有了速度的性质。因为实数点的集合的元素是不具有性质的，而现在具有了速度的性质，这样就由于函数y=2x的存在，使两个实数点的集合[0，1]和[0，2]变成另外两个非实数点的集合。在康托看来，函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数与[0，1]和[0，2]是否在同一个坐标轴上无关，因为康托不知道，由于函数y=2x的存在，y轴上的点的运动速度是x轴上的点的运动速度的2倍，因此，康托也就不知道，在[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的时候，由于y轴上的点的运动速度是x轴上的点的运动速度的2倍，因此[0，1]和[0，2]才是一一对应的关系，而函数y=2x才是[0，1]→[0，2]的双射函数。但是，在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，因为[0，1]和[0，2]上的点的运动速度相同，所以[0，1]和[0，2]只能是非一一对应的关系，因此，函数y=2x就不是[0，1]→[0，2]的双射函数。

另外，由于存在函数y=x不是[0，1]→[0，2]的双射函数，所以在y=x存在的条件下，[0，1]和[0，2]为非一一对应的关系。但是根据康托集合论的基本定理，由于存在函数y=2x为[0，1]→[0，2]的双射函数，所以[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。这时我们就要质问康托：[0，1]和[0，2]是一一对应的关系，还是非一一对应的关系？由此我们也可以看出，康托的两个集合间的一一对应的定义不能确定两个实数点的集合是一一对应的关系还是非一一对应的关系。再有，康托的两个集合间一一对应的定义是一个全称量词命题，由于同时存在相反的命题（即在y=x的条件下，[0，1]和[0，2]为非一一对应的关系），所以康托的两个集合间一一对应的定义这个全称量词命题就是一个错误的命题。另外，康托集合论的两个集合间一一对应的定义是判别[0，1]和[0，2]是否为一一对应的关系，它不能改变[0，1]和[0，2]的性质，前面已经指出，恰恰相反，由于函数y=2x的存在，使[0，1]和[0，2]从两个实数点的集合改变为两个非实数点的集合，因此，康托集合论的两个集合间一一对应的定义就是一个错误的定义。由于康托集合论的基本定理是根据康托集合论的两个集合间一一对应的定义证明的，由于这个定义是错误的，所以康托集合论的基本定理的证明就不能成立，所以康托集合论就是一个自相矛盾的错误理论。

【参考文献】

[1][美]周-道本.康托的无穷的数学和哲学[M].大连：大连理工大学出版社.

[2]张锦文.集合论与连续统假设浅说[M].上海：上海教育出版社，1980，9.