浅谈反证法及其应用

谭骥

【摘要】本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合，本文把反证法的常用场合分为六点，分别是：① 命题结构采取否定形式，结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③ 命题结论是“至多”“至少”的形式;④ 命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤ 某些起始命题;⑥ 命题结论的反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手时.

【关键词】反证法;应用;场合

曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学证题中确有奇效.应该指出的是，多数题目用直接法证明较为简捷.究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对“若A则B”一类的数学命题，一般都可以用反证法来加以证明，当然没有绝对的标准，但是遇到以下几类问题时不妨试一试.

一、命题结构采取否定形式，结论反面却是肯定判断

例1 证明：方程x2+y2=1996没有整数解.

分析 根据题目的意思，我们知道，因为1996是个偶数，所以x2，y2必须同为偶数或同为奇数，所以x，y必须同为偶数或同为奇数.我们根据这個条件去寻找矛盾.

证明：设原方程有整数解，则x，y必须同为偶数或同为奇数.

（1）若x，y同为偶数，令x=2m，y=2n，（m，n∈Z）则

4m2+4n2=1996，即m2+n2=499，①

满足①的m，n必须是一个为偶数，一个为奇数.

令m=2m′，n=2n′-1（m′，n′∈Z）代入①得

4m′2+4n′2-4n′+1=499，

即4（m′2+n′2-n′）=498.②

②的左边是4的倍数，而右边不是4的倍数，矛盾，故①不成立，从而原方程没有偶数解.

（2）若x，y同为奇数，令x=2m-1，y=2n-1（m，n∈Z）则

4（m2+n2-m-n）=1994.③

③的左边是4的倍数，而右边不是4的倍数，故原方程没有奇数解.

由（1）（2）知，原方程x2+y2=1996没有整数解.

二、有关唯一性的问题

例2 两条直线相交，只有一个交点.

已知：a，b为两相交直线.

求证：a，b只有一个交点.

证明 假定两直线a与b不止有一个交点，则至少交于两点.设这两个交点为A，B两点.这就是说，经过A，B两点可以作两条直线a，b，这和公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.故原命题成立.两直线相交，只有一个交点.

三、命题结论是“至多”“至少”的形式

例3 设△ABC不是正三角形，则在∠A，∠B，∠C中至少有一个大于60°.

分析 学生们在做这类题的时候反设容易出错，由题目我们知道，至少有一个内角不小于60°的意思是：∠A，∠B，∠C中，有一个不小于60°，或者有2个不小于60°，或者有3个不小于60°.那么，它的反面当然是有0个不小于60°，即∠A，∠B，∠C都小于60°.

证明 假设∠A，∠B，∠C都是不大于60°的角，则∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°.

从而∠A+∠B+∠C≤180°，

要使上式的等号成立，只能是∠A=∠B=∠C=60°.

于是，依题设△ABC不是正三角形，从而推出∠A+∠B+∠C<180°.

这与三角形的三个内角的和为180°相矛盾.

因此，原命题成立.

四、命题结论涉及无限集或数目不确定的对象

例4 证明素数有无限多个.

证明 假设素数是有限个，则必有最大的素数.记此最大的素数为p，作n=（2·3·5·7…p）+1.

n被任一个素数除时它的余数必等于1，即n除掉1与n外已无其他的约数.因此，n是个素数且是比p大的数.但这是与p为最大的素数相矛盾的，故原命题成立.

五、某些起始命题

例5 在同一平面内设有四条直线a，b，c，d.若a与b相交，c⊥a，d⊥b，则c与d也相交.

证明 假设c∥d.因为a⊥c，所以a⊥d;又因为b⊥d，所以a∥b.这与已知条件a与b相交矛盾，故c与d也相交.

六、命题结论的反面较结论本身具体、简单，直接证明难以下手时

例6 在△ABC中，若tgA，tgB，tgC成等比数列，求证：△ABC为锐角三角形.

分析 从题目给我们的已知条件，我们没法计算出∠A，∠B，∠C都是小于90度的角，所以我们只能从别的方面入手，因为tgA，tgB，tgC成等比数列，所以我们不妨从这方面进行考虑.

证明 由条件知tg2B=tgA·tgB>0，则A，C均为锐角.设B为钝角，即tgB<0，则由tgA+tgC≥2tgA·tgC=2tg2B=-2tgB，得tgA+tgB+tgC≥-tgB>0.

但另一方面，在任意三角形中，有tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC<0.

这样就导致矛盾，故假设不成立，因此，B为锐角，△ABC为锐角三角形.

七、总 结

反证法的用处很大，它不仅应用在初等数学中，还大量应用在高等数学中，应用反证法要注意以下几点：1.推理过程必须完全正确.2.决不能忽视原命题的题设条件，否则可能无法推出错误，或者无法断定所推导出来的结论是否是谬论.3.在应用反证法时，有时要做些准备工作，为应用反证法创造条件.4.在否定结论时，要分析可能有的各种情况，若有两种或两种以上的情况，要应用穷举法，不能有遗漏.

反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想.反证法的独特思维方式和证题方法对提高学生创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要的意义.