2020年高考三角函数命题预测

谢广喜

一、基本考点概述

根据多年来高考数学试题研究的基本经验，总结了近年来全国乙卷试题三角函数（平面向量）的主要命题要点，为2020届考生复习备考有关内容提供一个原则性、方向性的指导，必须强调指出，本文虽名为“预测”，但我们无意于猜题、押题，若无意中恰好与2020年高考数学试卷的某些高考试题存在解题要害的“碰撞”或“雷同”，则纯属巧合，切勿惊讶甚至以为有漏题之嫌. 我们下面首先将2015年至2019年的近五年来全国乙卷（总分150分）的三角函数（平面向量）的理科主要命题要点具体分析如下：

结合上表，我们容易看出，总体来说，三角函数（平面向量）试题在高考数学乙卷试题中所占比例不算高，难度也不大，基本上是以1道选择题、1道填空题和1道解答题为主（受解答题与数列轮换出现的影响，有时没有三角解答题，则会有选择题及填空共4道题），占分约20-27分，考点分布主要涉及：平面向量简单运算、平面基向量分解、三角函数图像与单调性、三角函数图像变换、三角函数最值、三角恒等变换、正余弦定理与解三角形等方面.

我们下面的预测试题也主要在（但不限于）这些方面（限于篇幅，有关平面向量的简单运算，及三角函数的简单函数变换问题等，本文从略），但狠抓基本，突出创新.

二、 三角函数（平面向量）的选择题或填空题主要命题要点预测

预测考点1：利用平面基向量思想求解的问题

例1. 如图1，在？驻ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，EC与AD相交于O点. 则   = （     ）.

A. -  +

B.   +

C. -  -

D.   -

答案：（A）.

解析：选项已经明确指出，以{ ，   }为一组基，容易由已知条件得  =   = （ + ），又 = + =-  + ，过D点作EC平行线交AB于点F，由D是BC的中点易有DF=2EO，且DF= EC，所以EO= EC，也即 =-  +  .

预测考点2：齐次三角函数背景下化简求值等问题

例2. 已知tan ？琢=m，求 的值.

解析：

原式= = = .

评注：这道题表面上并不齐次，但属于还是可以化成齐次问题的类型，同时值得指出，如果不可能化齐次，就必须分类讨论，将sin ？琢、cos ？琢强行解出，考生必须要注意这一通性通法的学习.

预测考点3：联系三角恒等式求最值

例3. 設 ∈（0，  ），则 的最大值为______.

解析：已知 ∈（0，  ），令sin   + cos  = t，则t∈（1，  ]，且有sin   cos  = ，于是 = = =1- ，显然，当t= 时，该表达式取得最大值为1- =3-2 .

评注：这类题主要是考生能联想sin   + cos  到sin  ·cos  与之间的内在关系——三角恒等式，从而实现整体变量的换元，同时值得指出，由于正余弦三角函数的有界性，换元变量一般有取值范围，必须注意换元前后变量的等价性.

预测考点4：三角函数背景下的最值

例4. 在？驻ABC中，A， B， C所对的边分别为a， b， c，且 + =3，则sinA的最大值为_________.

解析：这道题解法很多，但最巧妙的是下面的办法：显然A， B， C都不是直角，由于一个三角形中钝角至多一个，我们指出，角A不是钝角（否则，条件等式左边小于0，右边=3>0，矛盾），所以角A是锐角. 由 + =3，得（ +1）+（ +1）=5，也即 + =5，利用A+B+C=？仔，可得：5cosA= + ≥2，所以cosA≥ ，于是，锐角A的正弦满足：

0

预测考点5：三角恒等式背景下的选择题

例5. 已知 ∈（0， ？仔），且sin +cos =a，其中a为常数且a∈（0， 1），则下面tan 的值，正确的是（     ）

A. -         B. -         C. -         D.

答案：A、C、D.

解析：显然，由于a∈（0， 1），则1>sin +cos =a>0，若 ∈（0，  ]，易由单位圆上的三角函数的意义，立得sin +cos ≥1，和已知矛盾，从而只有 ∈（ ， ？仔），则sin >-cos >0，于是必须有tan <-1，其中只有tan =- 满足要求，所以本题正确答案为B.

评注：其实这道题是我们利用一道非常常见的基本习题的改编（有关试题是一个具体值），但由于我们将类似常见习题的具体值改成了字母a∈（0， 1），使得原来指向性的求解变成了否定性的探求，难度提高了，然而我们把握住一些常见的基本结果，比如当 在第一象限时有1

预测考点6：利用基本不等式求三角函数背景的最值

例6. 在？驻ABC中，若sinA=2cosBcosC，则sin 2 B+sin 2 C的最大值是________.

解析：A为三角形ABC的一内角，故sinA>0，也即cosBcosC>0，而在同一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角，于是必有cosB>0，cosC>0，即B，C都是锐角，由题意可得sinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC，进而有tanB+tanC=2，由于B，C的对称性，不妨设B≥C，即 >B≥C>0，于是2tanB≥tanB+tanC=2，即tanB≥1，可令tanB=1+t，则tanC=1-t，其中0≤t<1，此时有：

sin 2 B+sin 2 C= + = +  =2-（ + ）=2-（ + ），

其中0≤t<1，构造函数g（t）= + ，其中0≤ t<1，试求g（t）的最小值.

而g（t） =  + =2 = ，即g（t）=2 ，由于

（t2+2）+ -4≥2 -4=4 -4>0，故g（t）最小值为2 = ，也即sin 2 B+sin 2 C的最大值为2- = .

（注：不等式取等号条件能取得，验证过程略）.

三、三角函数（平面向量）的解答题主要命题要点预测

主要是三角恒等变换、正余弦定理与解三角形的综合.

预测考点7：型如f（x） = A·sin 2 xcos 2 x+B·sin xcos x+C的三角函数背景下的最值（值域）、单调性（单调区间）等问题

例7. 求函数f（x）=2cos2 x+sin 2 x-4cos x的最大值与最小值的和

解析：f（x）=3（cos x- ）2- ，当cos x= 时，f（x）min=- ，当cos x=-1时，f（x）max=6，故二者之和为 .

评注：处置的关键是换元，令t=cos x，或t=sin x，（注意：t取值范围有限制，即使自变量x无限制，也必须有 |t|≤1）问题等价转化为关于t的定义在局部上的二次函数问题.

预测考点8：y=Asin 2 x+Bsin xcos x+Ccos 2 x型三角函数背景下的最值（值域）、单调性（单调区间）等问题

例8. 已知函数f（x）== ，（1）求f（x）的定义域及最小正周期;（2）求f（x）的单调递增区间.

解析：（Ⅰ）f（x） 的定义域为{x∈R | cos x≠0}，即{x∈R |  x≠k？仔+ ， k∈Z};此时有f（x）=2（sin x-cos x）sinx=1-cos 2x-sin 2x，即f（x）=- sin（2x+ ）+1，f（x） 的最小正周期为T= =？仔.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x） 的单调递增区间即为g（x）=

sin（2x+ ），其中{ x∈R |  x ≠k？仔+ ， k∈Z}的遞减区间，也即2k？仔+ ？仔≤2x+ ≤2k？仔+ ？仔（k∈Z），（最后考虑定义域限制问题），则k？仔+ ≤x≤k？仔+ ？仔，（k∈Z），考虑到x≠k？仔+ ， k∈Z，所以，所求的单调递增区间为[k？仔+ ， k？仔+ ） （k∈Z）和（k？仔+ ， k？仔+ ] （k∈Z）.

评注：这道题本质上是y=Asin 2 x+Bsin xcos x+Ccos 2 x型三角函数背景下的最值（值域）、单调性（单调区间）等问题.但定义域又有所不同，在原有基础上有所创新.此类问题的一般处置方式是降幂倍角.

预测考点9：正余弦定理与其他知识简单综合

例9.（1）在？驻ABC中，A， B， C所对的边分别为a， b， c，且a2+b2- ab=c2，求C;（2）已知正实数a， c满足a2+c2+ac=3，试求3a+2c的最大值.

解析：（1）本题的考查方式是在考生比较熟悉的情境下，属于数学学科核心素养水平1的要求. 考生可以直接与余弦定理表达式对照，即得∠C= .

（2）本题的考查方式是在关联情境下，属于数学学科核心素养直观想象的水平2的要求. 要求考生能够受到问题（1）的形式的启发，将代数条件表达式跨学科联想到三角形的余弦定理（如图2），可视为B=120°，b= ，则

= = ，即 =2= ，于是a=2sinA，c=2sin（60°-A）.

立得3a+2c=2[3sinA+2sin（60°-A）]=2（2sinA+ cosA）≤

2 =2 .

下面验证取等号条件，当上面不等式取等号时，tanA= < ，而A∈（0°， 60°），所以不等式的等号可取得，综上，有3a+2c的最大值为2 . 当然，本题还有其他思路的解法，限于篇幅，此处从略.

评注：本题的最精彩部分在第（2）小问，看考生能否通过对问题（1）表现情境、处置思路的联想，在关联情境下，实现跨越式思维，创造性地解决问题（2）.

预测考点10：三角函数与立体几何简单综合

例10. 已知甲烷分子式为CH4，其中四个氢原子处在一个正四面体的顶点上，而碳原子恰好在这个正四面体的中心上，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相联，若我们把每个原子均看成一个质点，则任意两个碳、氢化学键之间的夹角的正弦值为________.

解析：如图3，正四面体ABCD（各棱长均相等），O点是正四面体的中心，于是OA=OB=OC=OD，设O点在底面BCD的投影点为O′，并记OO′=r，容易由O点是对称中心知，O点到每个面的距离均为r，且A， O， O′三点共线，则AO=3r，也即OA=OB=OC=OD=3r，记该正四面体的棱长为x，则EA=ED= x，且EO′= ED= x，？驻AEO′是Rt？驻，∠AO′E=90°，从而，EA2=EO′2+AO′2，也即：

（ x）2=（ x）2+（4r）2，解得x=2 r. 设∠BOC=？琢，其中？琢∈（0， ？仔），对？驻BOC用余弦定理得cos？琢= = =- ， 又？琢∈（0， ？仔）， 于是sin？琢= = = ，即所求的正弦值为 .

责任编辑 徐国坚