复平面加权Banach空间及Bloch型空间上的Volterra型算子

林庆泽

（广东工业大学应用数学学院，广东 广州 510520）

0 引 言

用H（C）表示复平面C 上所有整函数（entire function）组成的函数空间，

对于任一g∈H（C），定义Volterra 型算子Sg如下：

与Sg相伴而生的另一个算子是：

在复平面单位圆盘上，Pommerenke[1]首次研究Tg算子在Hardy 空间H2上的有界性，并刻画了其与BMOA 函数的指数之间的联系.而关于Tg算子以及Sg算子在一般的Hardy空间Hp（0＜p＜∞）、Bergman 空间Ap（0＜p＜∞）以及其它一些空间（包括加权Dirichlet空间等）上的有界性和紧性的刻画可参考文献[2-8].而在整个复平面上，Constantin 在文献[9]中首次研究了Tg算子在Fock 空间上的有界性和紧性.接着，Constantin 和Pelaez在文献[10]中研究Tg算子在更一般的加权Fock 空间上的有界性和紧性等问题.

Lin 最近在文献[11，18]中刻画了Tg算子以及Sg算子在复平面单位圆盘上的加权Banach 空间以及Bloch 型空间上的有界性及紧性，推广了Smith 等人在文献[12]中的成果.Bonet 和Taskinen 在文献[13]中研究了Tg算子在复平面上加权Banach 空间上的有界性和紧性问题，本文研究Sg算子在复平面上加权Banach 空间以及Bloch 型空间上的有界性和紧性问题，给出其充要性的刻画.

1 预备知识

定义1如果函数v（r）:[0，＋∞）→（0，＋∞）是单调递减的且满足对于任意的正整数N，都有则称函数 v（r）为权函数.对于复数z，定义

定义2权函数v 的关联权（associated weight）的定义如下：

其中δz表示点z的点估值泛函.

定义3权函数v 是本性的（essential）的，如果存在C＞0 使得对于任意的z∈C，都有

一个权v 是本性的当且仅当存在C＞0 使得对于任意的z0∈C，存在向量使得

受文献[11，15]的启发，我们将Sg算子在复平面上加权Banach 空间以及Bloch 型空间上的有界性和紧性问题转化为乘法算子

在对应的复平面上加权Banach 空间的有界性和紧性问题.下面两个引理给出了乘法算子Mg在复平面上加权Banach 空间之间的有界性和紧性的刻画.

引理1[13]若v 和μ 都为权函数，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：

引理2[13]若v 和μ 都为权函数，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：

2 Volterra型算子Sg的有界性及紧性

在这一节里，我们将刻画Volterra 型算子Sg在复平面上加权Banach 空间以及Bloch 型空间上的有界性和紧性的充要条件.

定理 1令 μ1和 μ2都为权函数，且存在 rφj＞0 使得 φj:＝1/μj在[rφj，∞)上属于 C2类，其中j＝1，2.令φ'（rφj）＞0 且φj'在[rφj，∞)是单调递增的并满足：对于任意正整数n，都有若 μ1是本性的，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：

证明记

则μφj也是权函数.由文献[13]的命题3.1 及命题3.2 可知，在定理1 所给定的条件下，积 分算子以及微分算子都是有界的.同样地，积 分 算 子以及微分算子都是有界的.由于有关系式 Sg＝TzMgDz以及 Mg＝DzSgTz，故是有界的当且仅当是有界的，同样地，是有界的当且仅当是有界的.而由于μ1是本性的，根据引理1，是有界的当且仅当是有界的，当且仅当也就是当且仅当证毕.

类似于定理1 的证明过程，我们可以得到下面几个定理.

定理 2令 μ1和 μ2都为权函数，且存在 rφj＞0 使得 φj:＝1/μj在[rφj，∞)上属于 C2类，其中j＝1，2.令φ'（rφj）＞0 且φj'在[rφj，∞)是单调递增的并满足：对于任意正整数n，都有若 μ1是本性的，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：

定理3若v 和μ 都为权函数，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：

定理4 若v 和μ 都为权函数，则对于给定的g∈H（C），以下条件相互等价：