时统业,曾志红
(1.海军指挥学院,江苏 南京 211800;2.广东第二师范学院学报编辑部,广东 广州 510303)
对于[a,b]上的凸函数f,成立
式(1)称为Hermite-Hadamard 不等式.利用由式(1)生成的差值函数的单调性和凸性,可以加细式(1)[1-2].
利用导函数可以估计对由式(1)生成的差值[3-11].
设f 是定义在[a,b]上的函数,考虑定义在[a,b]上的函数
定义1[12-14]设函数f 定义在[a,b]上,如果存在常数M,对任意x,y∈[a,b]有则称 f 在[a,b]上满足 M-Lipschiz 条件,或者称 f 是[a,b]上的M-Lipschiz 函数.
本文将给出与θ(x)有关的不等式,在特殊情况下得到已有文献的结果.
定理 1设 f 是[a,b]上的凸函数,则 θ(x)在上单调增加,从而对任意有
证明θ(x)在上连续,且对任意有故 θ(x)在上单调增加.从而对任意有即式(2)成立.
推论1设f 是[a,b]上的凸函数,则有
证明在式(2)中对x 在上积分即可得证.
定理2设f 是[a,b]上的可微函数,且f′在[a,b]上满足M-Lipschiz 条件,则对任意有
证明用分部积分法得
因f′在[a,b]上满足 M-Lipschiz 条件,故有
推论2设f 是[a,b]上的可微函数,且f′在[a,b]上满足M-Lipschiz 条件,则有
定理3设f 是[a,b]上的可微函数,且存在常数γ 和Γ,使得γ≤f′≤Γ,则对任意x∈[a,b],有
证明当 x=a 时,式(3)显然成立.当 x∈(a,b]时,对函数 θ(t)和(t-a)2在[a,x]上使用Cauchy 微分中值定理,存在ξ∈(a,x),使得
故式(3)成立.
推论3设f 是[a,b]上的可微函数,且存在常数γ 和Γ,使得γ≤f′≤Γ,则有
定理4设f 是[a,b]上的凸函数,且存在,则对任意x∈[a,b]有
对任意 t∈[a,x],有
在式(5)中对 t 在[a,x]上积分,则式(4)得证.
推论4[7]设f 是[a,b]上的凸函数,且存在,则有
定理5设f 是[a,b]上的二阶可微函数,且存在常数m 和M,使得m≤f″≤M,则
证明(i)因为m≤f″≤M,故对任意有
将式(8)乘以(t-a),然后对 t 在[a,x]上积分,则式(6)得证.
(ii)对任意 t∈[a,x),t≠a+b-x,设
考虑函数
即式(7)的右边部分得证.类似可证式(7)的左边部分.
推论5[5-6]设f 是[a,b]上的二阶可微函数,且存在常数m 和M,使得m≤f″≤M,则有
定理6设f 是[a,b]上的可微函数,且存在常数m 和M,使得γ≤f′≤Γ,则对任意有
证明当时,式(9)显然成立.当时,对函数 θ(t)和在上使用Cauchy 微分中值定理,存在使得
故式(9)成立.
定理7设f 是[a,b]上的凸函数,且存在,则对任意有
证明注意到
故式(10)成立.
定理8设f 是[a,b]上的可微函数,且f′在[a,b]上满足
式(11)的右边部分得证,类似可证式(11)的左边部分.
推论6设f 是[a,b]上的可微函数,且存在常数m 和M,使得m≤f″≤M,则对任意由式(11)成立.
定理9设f 是[a,b]上的可微函数,且是[a,b]上的凸函数,则对任意有
证明用分部积分法得
推论7[3]设f 是[a,b]上的可微函数,且是[a,b]上的凸函数,则有
定理10设f 是[a,b]上的可微函数,且是[a,b]上的凸函数,则对任意有
证明用分部积分法得