运用模型情境教学,提高学生数学素养

2020-03-03 08:58丁吉文
师道·教研 2020年1期
关键词:指数函数数学模型向量

丁吉文

数学教学中,数学概念及其性质教学占有重要地位,是数学单元知识教学的基础与起点。现在这部分教学通常采用设计情境法,这也是数学课程标准倡导的。情境分為问题情境、模型情境、案例情境三种。本文主要就模型情境展开论述,并把它与问题情境进行比较,说明它们各自优势与必要性。

模型情境教学,就是进行新概念及其性质教学时借助已知模型,关注它们的联系和应用,创设跨领域的场景,用模型的属性抽象成新概念属性的教学方式1。模型情境与问题情境不同,问题情境是通过还原知识发生场景,设置问题链引导学生学习。

一、模型情境教学

模型情境教学操作流程:

具体操作(以向量的学习为例):

第一步,引出新概念,给出定义,分析强调定义的构成要素,让学生先找感觉,有感性认识。认识效果不必在意,能为进入下一环节提供联想条件就可以了。向量学习伊始,给出并刻意强调向量定义包含两个要素,大小和方向。大部分学生对有大小与方向的量不陌生,他们有知识储备有能力联想,描绘出向量的几何模型。

第二步,导出模型,建立新旧知识联系,确立模型。学生已对新概念有了感性认识,启发学生,在学习过的知识中,有没有相关类似知识,如果有,能联系吗。这一环节中,教师启发是必须而且及时的。当学生联想正确,迅速建立它们关系,确立新概念的数学模型。向量教学,第一步中,学生自然在知识库中检索出,物理中速度,位移等量也是有大小与方向的量,它们是向量吗,它们性质向量是否也具有。教师给出肯定答案时,确立物理中的速度为向量的模型。

第三步,数学模型与新概念进行知识同化。分析新概念与数学模型,揭示它们本质属性与联系,指出它们根本上是相同或者相关的,有相同或者相关性质,分析新知识只需知道旧知识这个模型就可以了。列出模型的有关系性质。向量教学中,速度本质上讲也是向量,是向量的一种具体形式,而向量是对速度等物理量的一种抽象,所以速度的有关知识可以移植到向量中去。速度的合成,速度的分解等。

第四步,旧知识迁移,把新概念纳入到既有知识体系中去,成为学生知识库的一部分。分析了数学模型有关系属性,通过迁移得到新概念的属性,最后学生会发现,新也是旧,核心知识没变,只是包装变了,研究对象变了。新概念是旧知识在另外一个领域的呈现,是旧知的拓展与延伸,新还是旧。这样学生的数学认知结构就扩大了,认知内容丰富了,容量大了。向量学习中,速度也是向量,之前研究的是向量一个个具体对象,现在把它们当成整体来研究了,是知识的拓展不是知识的创新。

二、模型情境的分类与案例

模型情境教学,关键是数学模型,首先是要有,然后是用。模型情境中的模型可分为知识内容模型与研究方法模型两大类

1.知识内容类模型

数学单元中,知识本质相同,即知识体系中核心知识一样,只不过研究的问题指向与对象不同,就有了不同知识表象和不同名字,我们权且把它们称知识列。在这个知识列中,如果学习了其中一个,学习其它时,就可以学习过的作模型应用模型情境教学。高中数学,可以称为知识列的很多,下面做一个小节。

二分系列。一个整体,一分为二,合二为一就又成为一个整体。其来源应该是数学加法原理中的分类原理,体现了中国传统文化中的二元思想。一分为二数学中颇多出现,高中最先应用是集合关系中的集合互补,把全集分成两部分,对应两个集合就是互为补集。在学习概率时,对立事件也体现一分为二思想,整体分成两个事件,这两个事件为对立事件。证明中的反证法,结论判定有两种结果,对与错,命题学习中的求命题的否定,都是二分原理具体体现。学习了补集后,完全可以以它为模型,用模型情境来学习其它知识,因为本质上讲,它们是相同的。

向量与复数(这里向量特指平面向量)。向量与复数是两个数学概念,给学生感觉它们是不同,它们也的确不尽相同,它们研究不同对象过程中,生出不同分支,但就本质而言,它们都是研究二维数的,主干一样。数的发展,首先是一维的实数,然后是二维的复数,复数自然是复数,二维向量本质上也是复数,是复数的几何形式。编排中向量在前,学习复数时就可以向量做为模型。

指数函数与对数函数。指数与对数本质相同ab=N与logaN=b,它们反映三个量a 、b 、N关系没变,变的只是形式,在学习了指数函数时,就可心指数函数作模型来研究对数函数,特别是其中的a,为什么要分成01两种情况。

这一类数学模型很多。需要我们老师研究教学,深刻把握教材,我们老师研究到位了,才能在上课时熟练应用。

2.研究方法类模型

大部分人说数学难学,抽象复杂,难得要领,但也有人说数学不难,研究数学方法就那几种,举一反三就可以了,不似语文英语要记那么多字词。后面这种人悟到了数学精髓,学数学,内容上打破知识壁垒,求其本质,学习方法上讲复制,相近相同,特点相近的知识,可以用同样的方法研究。

例如,学习过指数函数后,接着是对数函数,完全可以指数函数为模型研究对数函数,上面讲过它们之间数学内容上的模型,现在讲的是研究方法模型。指数函数研究方法是做图,研究图形特点,得到函数的性质,在研究图形时,包括函数定义域、值域、函数单调性、奇偶性,是否过特殊点,在学习对数函数时,如法炮制就可以了。学习所有函数性质时,都是如此,包括幂函数,三角函数等。

数列学习中,讲完等差数列后,再讲等比数列时,研究方法同样是复制等差数列就可以了。先是定义,然后是数列的通项公式,最后是前N项和,中间穿插数列的性质。

立体几何学习时,研究方法更加如此,线面平行学习后,其研究方法与过程就可做为模型,来研究其它关系,线面垂直、面面平行、面面垂直。方法都是,先定义,然后判定,然后性质。

我们教师重视数学知识教学,也要重视数学研究方法教学,授人以鱼不如授人以漁,学生需要金子,更需要那根点石成金的手指,唯有学生学会能用研究方法,学生才算是学过数学的人,他们不是知识的搬运工,而是知识的建设者。

三、模型情境原则

模型情境在数学概念与性质教学中的作用已经显而易见,它是培养学生能力,提高学生数学素养的重要保证。提高学生素养不是口号,要能调动学生,让学生主动研究,把提高学生素养落实到具体教学中去。在调动学生上模型情境起到了发动机作用,学生发动起来了,主动而不是被动参与,余下事情就容易做了。但模型情境也不是任何时候都可以用,要遵守以下原则。

(1)学生主体性原则。数学模型情境教学中,学生是教学过程中的主体,任务的完成主要是靠学生的分析、联想、类比、迁移来完成的,老师不可越俎代庖,教程中大包大揽,教师只是起到必要及时的引导作用。核心素养下,要求我们老师人仅重视教,还要重视如何学,引导学生会学数学,养成良好的学习习惯,要努力激发学生的学习兴趣,促使更多学生热爱数学2。

(2)内容适用性原则。上面分析过,它在学生知识来源上,是知识的传承,不是知识的创造,所以在用之前,先清楚是否有模型,没有就不能生搬硬套,乱点鸳鸯谱,还是要问题情境发挥作用。讲指数函数时,其概念就找不到其数学模型,反正我没找到。

(3)适度性原则。用数学模型情境进行数学概念及性质教学时,能解决一部分问题,不是全部,用数学模型要适度。数学模型沟通的是新旧知识关系,新知识是旧知识的发展,不是简单重复,它们在解决不同问题过程中衍生出不同的知识体系,不能把它们等同起来,哪怕它们知识本质是相同的。复数与向量都是研究二维数字,但它们后来的研究方法不同,我们用模型只是解决它们在概念与运算这些性质上,不可盲目扩大。

(4)方式方法发展性原则。用数学模型情境时,同一个模型,要随着知识面的扩展与程度加深而有所以变化,不可一个模型一成不变用下去,要适度增加一些内容,让模型变得丰富,更实用。指数函数模型用来研究对数函数非常好,但到了三角函数时,要增加函数周期性,三角函数有周期性,指数函数没有。学习指数函数时,还没接触函数的周期性。

模型情境教学要求教师对教材有深刻的认识与理解,唯有如此,才能数学知识之间自如纵横联系,互为模型实施教学。正如厨师煮菜,技术有了,还要有食材,没有食材,厨师煮不出菜,教师没研究透彻知识间本质关系,也用不好模型情境教学法。所以我们要坚持研究教学与教材,把数学知识融会贯通。这样,我们才可以把这个工作做得更好,课堂更有效。

责任编辑 徐国坚

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