运用模型情境教学，提高学生数学素养

丁吉文

数学教学中，数学概念及其性质教学占有重要地位，是数学单元知识教学的基础与起点。现在这部分教学通常采用设计情境法，这也是数学课程标准倡导的。情境分為问题情境、模型情境、案例情境三种。本文主要就模型情境展开论述，并把它与问题情境进行比较，说明它们各自优势与必要性。

模型情境教学，就是进行新概念及其性质教学时借助已知模型，关注它们的联系和应用，创设跨领域的场景，用模型的属性抽象成新概念属性的教学方式1。模型情境与问题情境不同，问题情境是通过还原知识发生场景，设置问题链引导学生学习。

一、模型情境教学

模型情境教学操作流程：

具体操作（以向量的学习为例）：

第一步，引出新概念，给出定义，分析强调定义的构成要素，让学生先找感觉，有感性认识。认识效果不必在意，能为进入下一环节提供联想条件就可以了。向量学习伊始，给出并刻意强调向量定义包含两个要素，大小和方向。大部分学生对有大小与方向的量不陌生，他们有知识储备有能力联想，描绘出向量的几何模型。

第二步，导出模型，建立新旧知识联系，确立模型。学生已对新概念有了感性认识，启发学生，在学习过的知识中，有没有相关类似知识，如果有，能联系吗。这一环节中，教师启发是必须而且及时的。当学生联想正确，迅速建立它们关系，确立新概念的数学模型。向量教学，第一步中，学生自然在知识库中检索出，物理中速度，位移等量也是有大小与方向的量，它们是向量吗，它们性质向量是否也具有。教师给出肯定答案时，确立物理中的速度为向量的模型。

第三步，数学模型与新概念进行知识同化。分析新概念与数学模型，揭示它们本质属性与联系，指出它们根本上是相同或者相关的，有相同或者相关性质，分析新知识只需知道旧知识这个模型就可以了。列出模型的有关系性质。向量教学中，速度本质上讲也是向量，是向量的一种具体形式，而向量是对速度等物理量的一种抽象，所以速度的有关知识可以移植到向量中去。速度的合成，速度的分解等。

第四步，旧知识迁移，把新概念纳入到既有知识体系中去，成为学生知识库的一部分。分析了数学模型有关系属性，通过迁移得到新概念的属性，最后学生会发现，新也是旧，核心知识没变，只是包装变了，研究对象变了。新概念是旧知识在另外一个领域的呈现，是旧知的拓展与延伸，新还是旧。这样学生的数学认知结构就扩大了，认知内容丰富了，容量大了。向量学习中，速度也是向量，之前研究的是向量一个个具体对象，现在把它们当成整体来研究了，是知识的拓展不是知识的创新。

二、模型情境的分类与案例

模型情境教学，关键是数学模型，首先是要有，然后是用。模型情境中的模型可分为知识内容模型与研究方法模型两大类

1.知识内容类模型

数学单元中，知识本质相同，即知识体系中核心知识一样，只不过研究的问题指向与对象不同，就有了不同知识表象和不同名字，我们权且把它们称知识列。在这个知识列中，如果学习了其中一个，学习其它时，就可以学习过的作模型应用模型情境教学。高中数学，可以称为知识列的很多，下面做一个小节。

二分系列。一个整体，一分为二，合二为一就又成为一个整体。其来源应该是数学加法原理中的分类原理，体现了中国传统文化中的二元思想。一分为二数学中颇多出现，高中最先应用是集合关系中的集合互补，把全集分成两部分，对应两个集合就是互为补集。在学习概率时，对立事件也体现一分为二思想，整体分成两个事件，这两个事件为对立事件。证明中的反证法，结论判定有两种结果，对与错，命题学习中的求命题的否定，都是二分原理具体体现。学习了补集后，完全可以以它为模型，用模型情境来学习其它知识，因为本质上讲，它们是相同的。

向量与复数（这里向量特指平面向量）。向量与复数是两个数学概念，给学生感觉它们是不同，它们也的确不尽相同，它们研究不同对象过程中，生出不同分支，但就本质而言，它们都是研究二维数的，主干一样。数的发展，首先是一维的实数，然后是二维的复数，复数自然是复数，二维向量本质上也是复数，是复数的几何形式。编排中向量在前，学习复数时就可以向量做为模型。

指数函数与对数函数。指数与对数本质相同ab=N与logaN=b，它们反映三个量a 、b 、N关系没变，变的只是形式，在学习了指数函数时，就可心指数函数作模型来研究对数函数，特别是其中的a，为什么要分成01两种情况。

这一类数学模型很多。需要我们老师研究教学，深刻把握教材，我们老师研究到位了，才能在上课时熟练应用。

2.研究方法类模型

大部分人说数学难学，抽象复杂，难得要领，但也有人说数学不难，研究数学方法就那几种，举一反三就可以了，不似语文英语要记那么多字词。后面这种人悟到了数学精髓，学数学，内容上打破知识壁垒，求其本质，学习方法上讲复制，相近相同，特点相近的知识，可以用同样的方法研究。

例如，学习过指数函数后，接着是对数函数，完全可以指数函数为模型研究对数函数，上面讲过它们之间数学内容上的模型，现在讲的是研究方法模型。指数函数研究方法是做图，研究图形特点，得到函数的性质，在研究图形时，包括函数定义域、值域、函数单调性、奇偶性，是否过特殊点，在学习对数函数时，如法炮制就可以了。学习所有函数性质时，都是如此，包括幂函数，三角函数等。

数列学习中，讲完等差数列后，再讲等比数列时，研究方法同样是复制等差数列就可以了。先是定义，然后是数列的通项公式，最后是前N项和，中间穿插数列的性质。

立体几何学习时，研究方法更加如此，线面平行学习后，其研究方法与过程就可做为模型，来研究其它关系，线面垂直、面面平行、面面垂直。方法都是，先定义，然后判定，然后性质。

我们教师重视数学知识教学，也要重视数学研究方法教学，授人以鱼不如授人以漁，学生需要金子，更需要那根点石成金的手指，唯有学生学会能用研究方法，学生才算是学过数学的人，他们不是知识的搬运工，而是知识的建设者。

三、模型情境原则

模型情境在数学概念与性质教学中的作用已经显而易见，它是培养学生能力，提高学生数学素养的重要保证。提高学生素养不是口号，要能调动学生，让学生主动研究，把提高学生素养落实到具体教学中去。在调动学生上模型情境起到了发动机作用，学生发动起来了，主动而不是被动参与，余下事情就容易做了。但模型情境也不是任何时候都可以用，要遵守以下原则。

（1）学生主体性原则。数学模型情境教学中，学生是教学过程中的主体，任务的完成主要是靠学生的分析、联想、类比、迁移来完成的，老师不可越俎代庖，教程中大包大揽，教师只是起到必要及时的引导作用。核心素养下，要求我们老师人仅重视教，还要重视如何学，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯，要努力激发学生的学习兴趣，促使更多学生热爱数学2。

（2）内容适用性原则。上面分析过，它在学生知识来源上，是知识的传承，不是知识的创造，所以在用之前，先清楚是否有模型，没有就不能生搬硬套，乱点鸳鸯谱，还是要问题情境发挥作用。讲指数函数时，其概念就找不到其数学模型，反正我没找到。

（3）适度性原则。用数学模型情境进行数学概念及性质教学时，能解决一部分问题，不是全部，用数学模型要适度。数学模型沟通的是新旧知识关系，新知识是旧知识的发展，不是简单重复，它们在解决不同问题过程中衍生出不同的知识体系，不能把它们等同起来，哪怕它们知识本质是相同的。复数与向量都是研究二维数字，但它们后来的研究方法不同，我们用模型只是解决它们在概念与运算这些性质上，不可盲目扩大。

（4）方式方法发展性原则。用数学模型情境时，同一个模型，要随着知识面的扩展与程度加深而有所以变化，不可一个模型一成不变用下去，要适度增加一些内容，让模型变得丰富，更实用。指数函数模型用来研究对数函数非常好，但到了三角函数时，要增加函数周期性，三角函数有周期性，指数函数没有。学习指数函数时，还没接触函数的周期性。

模型情境教学要求教师对教材有深刻的认识与理解，唯有如此，才能数学知识之间自如纵横联系，互为模型实施教学。正如厨师煮菜，技术有了，还要有食材，没有食材，厨师煮不出菜，教师没研究透彻知识间本质关系，也用不好模型情境教学法。所以我们要坚持研究教学与教材，把数学知识融会贯通。这样，我们才可以把这个工作做得更好，课堂更有效。

责任编辑 徐国坚