模和环的small-内射性的一些研究

鲁 琦， 李 娜

(蚌埠学院 理学院，安徽 蚌埠 233030)

本文中，R均指含有单位元的结合环，R上的模均指单式模.J(R)(或J)和Z(RR)(或Zl)分别表示R的Jacobson根和左奇异理想.对于环R中的任意元a，l(a)和r(a)分别表示a的左零化子和右零化子.2006年，沈亮[1]引入small-内射模的概念，利用small-内射模定义small-内射环，研究其性质，以及和其他特殊内射环的关系.2009年，余祖俊等[2]进一步研究了small-内射的LPID环的性质，并对文献[1]中利用small-内射模刻画半本原环的工作进行延拓，证明了任意单左(右)R-模是small-内射的当且仅当R是半本原环.2010年，李喆等[3]将文献[2]中任意单左(右)R-模是small-内射的用任意单奇异左(右)R-模是small-内射的替代，研究了半局部环的von Nuemann正则性，对半单环和强正则环也做了一些等价刻画.本文在文献[2]和文献[3]的研究基础上研究small-内射模(环)，给出了环是small-内射环的一些充分条件，并用单奇异模的small内射性刻画半本原环.文中出现但未给出具体定义的一些概念见文献[4].

1 预备知识

定义1.1[1]设R是环，称左R-模M是small-内射的，如果R的每个small左理想到M的左R同态可以扩张为R到M的左R-同态.R是左small-内射环，如果R作为左-模是small-内射的.

引理1.1[3]设R是左small-内射环，则J⊆Zl.

命题1.1若R是无零因子的左small-内射环，则R是半本原环.

证若不然，存在0≠a∈J，由R是无零因子环可知0≠a2∈J.易知Ra2是small左理想.对任意r∈R，定义f:Ra2→R;ra2ra.若ra2=0，则由R是无零因子环可得ra=0，故易证f左R-同态.于是存在b∈R，使得a=a2b，进而推出a(1-ab)=0.因为a∈J，所以1-ab可逆，故可得a=0.此与a≠0矛盾，故R是半本原环.

2 主要结果

命题2.1若J作为左R-模是small-内射的，则R是半本原环.

证若不然，存在0≠a∈J，则Ra是small左理想.对任意r∈R，定义f:Ra→J;rara，易证f左R-同态.于是存在b∈J，使得a=ab，进而推出a(1-b)=0.由于b∈J，故可得a=0.因此R是半本原环.

命题2.2设M,N是左R-模，若M是P-内射的，N是small-内射的，则M⊕N是small-内射的.

证对任意small左理想I， 由N是small-内射的可知，I到N的任意左R-同态均可扩充成R到N的左R-同态.设f是I到M⊕N的任意左R-同态，并设

p1:M⊕N→M是M⊕N到M的标准投影，

p2:M⊕N→N是M⊕N到N的标准投影，

则p1f(rba)=rbam,m∈M；p2f(rba)=rban,n∈N.于是可得

f(rba)=(p1f(rba),p2f(rba))=(rbam,rban)=rba(m,n).

其中,(m,n)∈M⊕N.因此M⊕N是small-内射的.

称环R是左JP-内射环[4]，若对任意a∈J，有rl(a)=aR.称环R是约化环[5]，如果R不含非零的幂零元. 称环R是ZI环[6]，如果对a,b∈R，由ab=0可推出aRb=0.易知，约化环是ZI环.

定理2.1若R是约化的左small-内射环，记S=eRe，e2=e∈R，则S是约化的左JP-内射环.

证显然S是约化的，且J(S)=J(eRe)=eJe，故只需证对任意a∈J(S)，有rSlS(a)=aS.易见aS⊆rSlS(a)，下证rSlS(a)⊆aS.

显然对任意0≠a∈J(S)⊆R，由R是左small-内射环可知，rRlR(a)=aR.对任意x∈rSlS(a)，可得lS(a)⊆lS(x).对任意y∈lR(a)，可得ya=0，进而推出eyea=0，即eye∈lS(a)⊆lS(x).故eyex=0，再由(yx)2=yxeyex=0以及R是约化的可得yx=0.由此证得y∈lR(x)，因此lR(a)⊆lR(x).于是有x∈rRlR(x)⊆rRlR(a)=aR，即存在z∈R，使x=az.注意到x∈S，故可得x=xe=aze=aeze∈aS，从而证得rSlS(a)⊆aS.因此S是约化的左JP-内射环.

推论2.1若R是左small-内射环，记S=eRe，e2=e∈R，且e是中心幂等元(即e与R的任何元素均可交换)，则S是左JP-内射环.

证易见aS⊆rSlS(a)，下证rSlS(a)⊆aS.对任意0≠a∈J(S)⊆R，由R是左small-内射环可知，rRlR(a)=aR.对任意x∈rSlS(a)，可得lS(a)⊆lS(x).对任意y∈lR(a)，可得ya=0，进而推出eyea=0，即eye∈lS(a)⊆lS(x)，故eyex=0.注意到x∈S，故由e是中心幂等元，得yx=0.由定理2.1的证明可得rSlS(a)⊆aS.因此S是左JP-内射环.

定理2.2若对环R的任意元a，均有l(a)⊆J，且左R-模R/J是small-内射的，则R是small-内射环.

证对任意0≠a∈J，由于l(a)⊆J，故对任意r∈R，可定义

f:Ra→R/J;rar+J.

若ra=0，则r∈l(a)⊆J，故容易验证f是左R-同态.于是存在b∈R，使得1+J=a(b+J)，进而推出1-ab∈J，再由a∈J，可得1∈J，矛盾.故J=0，再由R/J是small-内射的可得R是small-内射环.

定理2.3设R是环，则下列叙述等价：

(1)R是半本原环；

(2)任意单奇异左(右)R-模是small-内射的.

证(1)⟹(2)是显然的.

(2)⟹(1)：只证左R-模情形，对于右R-模类似可证.若存在0≠a∈J，则由引理1.1，l(a)是R的本质左理想.于是存在R的极大左理想M，使l(a)⊆M，且M是R的极大本质左理想.由条件，单奇异左R-模R/M是small-内射的，故可定义

f:Ra→R/M;rar+M， ∀r∈R.

容易验证f是左R-同态，于是存在b∈R，使得1-ab∈M.因为a∈J，所以ab∈J⊆M，故可得1∈M，与M是极大左理想矛盾.因此R是半本原环.

作为文献[7]中局部环的推广，称环R是半局部环[8]，如果R/J是半单的.

推论2.2设R是半局部环，则下列叙述等价：

(1)R是半单环；

(2)R是正则环；

(3)任意单奇异左(右)R-模是small-内射的；

(4)R是半本原环.

证(1)⟹(2)⟹(3)是显然的，(3)⟹(4)由定理2.3可得.

(4)⟹(1)：由(4)及R是半局部环，可得R是半单环.

设R是环，称左零化子M为极大左零化子[9]，若存在N为左零化子，且M⊆N，则M=N和N=R只可能成立其一.从定义可知，若M为环R的极大左零化子，则M≠R，此时可记M=l(a)，0≠a∈R.同理可定义极大右零化子.

定理2.4设R是左small-内射环，若对0≠a∈J，l(a)是R的极大左零化子，则a是非零幂零元.

证若0≠a∈J，a2≠0，则l(a)≠R且l(a2)≠R.再由l(a)⊆l(a2)，以及l(a)是R的极大左零化子，可得

l(a)=l(a2).

(1)

对上述0≠a∈J，及任意r∈R，定义：

f:Ra2→R;ra2ra.

若ra2=0，则r∈l(a2)，故由式(1)可得ra=0. 可以证明f是左R-同态.于是存在b∈R，满足a=a2b，进而可得a(1-ab)=0.因为a∈J，所以1-ab可逆，故a=0.此与a≠0矛盾，故a2=0，a是非零幂零元.

定理2.5设R是左small-内射环，若对0≠a∈J，r(a)是R的极大右零化子，则a是非零幂零元.

证对0≠a∈J及0≠at∈J，易见l(a)⊆l(at). 若l(at)=R，则at=0，与at≠0矛盾，故l(at)≠R. 若r(a)是R的极大右零化子，则仍有l(a)=l(at). 事实上，若x∉l(a)，即xa≠0，易见r(xa)≠R，r(a)⊆r(xa) ，再由r(a)是R的极大右零化子，得r(a)=r(xa). 由于at≠0，故t∉r(a).因此xat≠0，x∉l(at)，从而可得l(at)⊆l(a).l(a)⊆l(at)是显然的，故l(a)=l(at). 由此证得，若0≠a∈R，r(a)是R的极大右零化子，则对任意0≠at∈R，有

l(a)=l(at).

(2)

对上述0≠a∈J，若a2≠0，则对任意r∈R，定义：

f:Ra2→R;ra2ra.

若ra2=0，则r∈l(a2)，故由式(2)可得ra=0. 类似定理2.4的证明可得a=0.此与a≠0矛盾，故a2=0，a是非零幂零元.