从多项式逼近角度证明泰勒定理

顾 颖

(宿迁学院文理学院 江苏宿迁 223800)

英国数学家布鲁克泰勒在其著作《正和反的增量法》中首次提及泰勒公式，泰勒公式是数学分析中的重点和难点，具有十分重要的理论与应用价值[1]。它在近似计算，不等式证明，函数性态分析等方面发挥着重要的作用，同时也是计算数学中多项式插值，数值微积分，微分方程数值解等算法的理论基础。本文从多项式逼近的角度首先给出泰勒多项式，进而证明泰勒定理。

从本例结果中可看出对于y=sin x 在x=0 附近，当用一次多项式逼近它时，精度仅能达到x 的高阶无穷小，但当用三次多项式逼近时，精度就提升到x3的高阶无穷小了。回归到一般的函数y=f (x)，在点x0附近，能否用多项式逼近该函数呢？

由一元函数微分知识，得到当y=f (x)在点x0可导时，有

一、泰勒多项式