大学物理中微积分应用浅析

林季资 肖沛 赵越 张玉峰 王勇幸

摘  要：大学物理以研究矢量、变量为主，在数学处理上常采用微积分方法，与中学物理有着很大不同。大学物理教师若能在课堂上较好地将微积分思想融入课堂教学当中，将有助于学生掌握微积分方法。本文结合大学物理中的经典例题，阐述微积分在大学物理中的应用，为更好地提升学生解决物理问题水平及能力提供帮助。

关键词：微积分  导数  无限分割  微分方程

中图分类号：O172                            文献标识码：A                 文章编号：1674-098X（2020）08（c）-0203-03

Abstract： College physics mainly studies vector and variable， and calculus is often used in the mathematical processing， which is quite different from middle school physics. If college physics teachers can better integrate calculus into classroom teaching， it will help students master calculus methods. In this paper， combined with the classic examples in college physics， the application of calculus in college physics is expounded， which can help to improve the ability of students to solve physics problems.

Key Words： Calculus; Derivative; Unlimited division; Differential equation

1  微积分与物理学

17世纪时，在力学、光学、天文学等领域，人们面临四类科学问题亟需解决，它们分别是求解曲线切线问题、计算曲线长度及面积问题、计算瞬时速度及加速度问题、求解最优问题。在先辈们工作（如逼近法、割圆术等）基础上[1]，经过科学家们的努力，建立了现在称之为微积分学的数学理论很好地解决了上述问题。微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用[2]。

大学物理作为高等学校理工科专业学生必修的一门公共基础课，在整个人才培养方案中占据基础性关键性位置。该课程的开设，是为了打好理工科专业学生必要的物理基础，帮助学生增强分析和解决问题能力，也为后续课程的学习打下坚实基础[3]。近年来，为适应高等职业教育发展需要，各职业院校纷纷对人才培养方案进行修订，着力进行课程教学改革，缩减部分基础课程如大学物理课的学时。为应对学时不足，诸多院校不约而同地采用模块化教学，针对不同专业选修相应内容[4-6]。其中，力学及电磁学部分通常都作为必选部分。在这两部分教学内容中，涉及大量与微积分有关的公式，理论性强且较为抽象。学生在学习过程中普遍认为比较难，相当部分学生在短时间内无法理解及掌握，只能依靠死记硬背，无法体会理论中所蕴含的物理之美，导致缺乏学习兴趣。因此，如何在教学中更好地融入微积分思想，培养学生利用微积分分析及解决问题的能力，提高教學质量，是大学物理教师要深入思考的问题。

2  微积分在大学物理中的应用

大学物理比中学物理涵盖范围更广，相应的物理理论及规律更具有普遍性。因此，在对物理概念、定理（定律）进行公式化描述时就采用微积分。如前所述，微积分包含微分和积分。在对问题进行分析时，将复杂过程进行无限分割，以适用于理想特殊条件即为微分，而把无限多个微分进行累积就是积分。换句话说，微积分方法就是先化整为零，再积零为整，实现复杂问题求解[7-8]。下面结合大学物理中力学、电磁学内容的典型例题做简要分析。

例题1.如图1所示， 湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率v0收绳，绳不伸长且湖水静止，试求小船的速率[9]。

解析：该例题在使用运动合成与分解方法求解时容易将合速度和分速度混淆。若能按照速度定义，采用导数方法，则很容易求解。按图1中建立的坐标系，设t时刻，船位置坐标为x。由已知条件有，这里l表示船到滑轮间绳子长度，显然它是随时间发生变化的。则有，其中。整理可得，。故小船速率为，显然是随时间发生变化的。

例题2 一人从10.0m 深的井中提水，起始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏掉0.20 kg的水。试求水桶被匀速地从井中提到井口时拉力所作的功[9]。

解析：该例题涉及变力做功。若能利用微分方法，将路径分成无穷多个小段，在每个小段上拉力近似看作恒力，则由恒力做功可计算出每段上所做的元功，然后对所有元功求和即为整个路径上拉力所做的功。如图2所示，由于水桶匀速向上运动，此时拉力与重力平衡即。重力与坐标y间关系为。则有：

由以上求解过程可以看出，当把路径分割成无限小段时，每段上的拉力近似看作恒力即把变量看作是常量进行处理，使问题变得简单了。实际上，利用微分方法在处理问题时常常是将一个整体分割成无穷多个小部分（如这里的路径分割成小段），在每个小部分上相应的变量当做常量处理，使问题简单化。在刚体力学部分求解转动惯量时也常常采用这种方法，如图3所示。图3（a）中，先计算质量元对转轴的转动惯量，然后对所有质量元的转动惯量进行求和（λ=m/l）;图3（b）中，圆盘质量分布均匀可以看成由很多个小环带构成，先计算出每个环带对转轴转动惯量，（），再对所有环带转动惯量求和

例题3、正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线上任一点P的电场强度[9]。

解析：该带电体系电荷分布连续，且电荷分布具有轴对称，我们建立如图坐标系。采用微积分方法，将带电圆环分割成无限多个点电荷，每个点电荷带电量，先计算出每个点电荷在P点激起的电场场，然后进行积分求出总的电场。与前面例2不同的是，电场强度是矢量，因此一般不直接进行求和积分，而是将在坐标轴上进行投影，求出各个投影分量再积分求出各个分量，最后合成求出总的电场强度。

利用点电荷场强公式有。由于，且电荷分布具有轴对称，则有（如图4所示），故

从本例题可以看出，在不能直接应用公式（如点电荷电场强度公式）进行电场强度求解时，应采用微积分思想解题即在满足物理学原理前提下，按步骤建好坐标系及选择恰当微元（如本例中的电荷元dq），写出相应微分关系式并在特殊方向上进行投影，然后利用积分先求出各分量，最后再合成求解并讨论。在大学物理磁场部分，利用毕奥-萨伐定律求解磁场强度、求解载流导线在磁场中受到的安培力等，也都会用到上述求解方法。因此，若能在教学过程中把握好这几个求解环节，就能提高学生在大学物理中的求解及思考问题能力。

例题4劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动，试求其运动方程。

解析：本例题是有关弹簧振子运动问题。一般教材介绍弹簧振子简谐运动时都是将弹簧视为轻弹簧即忽略弹簧的质量。若考虑弹簧质量，振子运动情况又会如何，这是笔者在教学过程中学生提的较多问题之一。该问题可以从守恒量出发，得到振子运动满足的微分方程，进而获得振子运动详情。

如图5所示，弹簧自然伸长时所在位置取为坐标原点O。当振子运动到位置X时，弹簧固定端位移为零，而另一端位移为X。此时，原位于l處的弹簧质元dl（其质量为mdl/L）的位移为lx/L，速度为ldx/Ldt，则弹簧与振子的动能分别为：

系统弹性势能为：EP=kx2/2。由于系统机械能守恒，则有：

两边对时间求导，可得，进而得到，其中。由此可知，当振子在做微小运动时，振子的运动可视为简谐运动。由本例题可以看出，利用微分方程建立函数与自变量间的关系，从而求出各物理量间变化关系。微分方程在物理领域应用十分广泛如量子力学中的一维、二维、三维谐振子模型等，因此掌握微分方程对学习大学物理至关重要。

3  结语

本文通过具体例题分析了微积分在大学物理中的应用，为学生将微积分思想运用在变力做功、电场强度求解等问题有着一定指导作用，有助于学生理解并掌握微积分的思想，提升学生分析和解决问题的能力。

参考文献

[1] 宋剑萍.物理教学中微积分思想的应用[J].中学物理教学参考，2019，48（1）：72-73.

[2] 张欣艳，陈佰树，王乐新，等.跳出专业视阈谈大学物理课与微积分的糅合教学[J].高师理科学刊，2020，40（2）：93-96.

[3] 王白音.论大学物理中的矢量和微积分思想[J].教育教学论坛，2015（41）：173-174.

[4] 马振宁，于智清，李星.工科专业大学物理模块化教学改革探索[J].教育教学论坛，2020（4）：209-210.

[5] 刘春清.基于OBE理念的大学物理课程评价体系研究[J].科技资讯，2018（26）：164-165.

[6] 彭川来.民办高校大学物理实验模块式教学改革与探索——以闽南理工学院为例[J].大学物理实验，2018（3）：112-114.

[7] 岳保旺，张晋华.大学物理教学中巧用微积分[J].忻州师范学院学报，2016，32（2）：97-100.

[8] 林剑花.大学物理教学中微积分思想应用的几点思考[J].赤峰学院学报：自然科学版，2019，35（4）：148-150.

[9] 马文蔚.物理学[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.