由乘法估值想到的“二维交叉数轴法”

曾有玲

[摘要]数形结合是一种研究数学问题、推动数学科学不断进步的重要思想方法。很多时候，運用数形结合的思想可以解决许多用常规方法难以解决的难题，突破思维局限性。

[关键词]数形结合;乘法估值;数轴法

[中图分类号]G623.5  [文献标识码]A  [文章编号]1007-9068（2020）02-0038-02

历史上曾经出现过一类计算工具——计算尺，它能够帮助人们进行基本的数学运算。随着计算机的兴起，计算尺退出了历史舞台，不过其运算原理却保留下来，并得到传承和发扬。“二维交叉数轴平面”的构想与计算尺如出一辙，都是通过线条的错位移动来刻画计算结果。

一、问题的由来

“两位数相乘的估算”是人教版教材三年级的一个内容，笔者曾听过这一内容的示范课。听课过程中，笔者发现学生对于“42x29的积为1200左右”这一表述不求甚解，没有细细咀嚼，教师也是一语带过。“左”是什么意思？“右”又为何意？最后的“左右”到底指什么？

听课时，笔者突发奇想：能否借用数轴上的点来刻画精确值和近似值？以42x29为例，笔者将三种估值方案——缩小估计（取两个因数的最高位，低位全部省略，即40x20=800）、居中估计（两个因数全部“四舍五入”，即40x30=1200）、扩大估计（将两个因数全部用“进一法”估值，即50x30=1500）的结果，分别在数轴上用对应的点表示（如图1）。不难发现，精确值在800?1500这个范围内。笔者将精确值求出，也在数轴上标出相应的点。显然，这道算式的精确值1218比近似值1200大一些，反映到数轴上就在精确值点的“右侧”（如图1），因此称之为“右”。

在配套的课后练习中也出现了数轴形式的计算，不难发现，一些精确值比居中估值要小一些，在居中估值的左边，因此描述为“左”。鉴于算式的灵活性，以及居中估值的模糊性，再考虑到学生的理解能力，我们形象地描述为“左右”。于是，借助数轴的直观，通过对比数值大小与点的位置关系，学生深刻认识了“左右”的内涵。

二、形式的拓展和演变

居中估值和精确值相比有一定出入，统称为“左右”是权宜之计，那么有没有更科学的办法，在拋开精确值的前提下，预测出估值比精确值偏大还是偏小呢？笔者把目光锁定在数轴上，仍然采用数形结合的办法去探索。不过，这次笔者增加了一条数轴，用平行数轴上的两点来刻画两个因数，用连接代表两个因数的点形成的线段表示乘积，即三种估值都用连线刻画。笔者将其命名为“几何乘积法”。仍以42X29为例，如图2所示。

从图2来看，42x29的几何乘积线段MN，夹在缩小估值40x20对应的几何乘积线段AB与扩大估值50x30对应的几何乘积线段CD以及两条数轴围成的封闭区间内，形象揭示了精确值“比缩小估值大、比扩大估值小”的道理，并直观地展示出，精确值线段MN与居中估值40x30的几何乘积线段BD相交于点P。

三、逻辑上的推定

现在要厘清的是，精确值到底是居左还是居右？通过计算与估算，以及对一条数轴的直观理解，我们业已确证42x29的精确值在居中估值结果的“右侧”，再来观察这幅“二维交叉数轴”。交点P在封闭空间的上方，如果再植入一条辅助线作为与上下轴平行的中轴（如图3），就能更加精准地锁定交点P在中轴上方。这就可以理解为：精确值在居中估值的“右侧”。那这是不是就意味着，居中估值与精确值的交点在中轴之上，就是“居右”，反之就是“居左”了呢？

转念一想，如果把两个乘数42和29调换顺序呢？居中估值线段BD与精确值线段MN的交点P不就转移到中轴下方去了吗？因此，和42x29一样，必须添加限制条件：上面的数轴只能刻画进行“五入”的因数，姑且称为“五入线”，下面的数轴只能刻画进行“四舍”的因数，姑且称为“四舍线”。为了证实这一“创造”具有科学性以及“二维交叉数轴法”的合理性，笔者进行了举证，情况如图4所示。

以上都是两位数相乘，相信异位数相乘也是如此，只是线段的倾斜率程度更大。这时又迎来了新问题：如果两个因数都进行“四舍”或者“五入”取近似值，该如何处理？通过对标准式和估值算式的对比观察，我们可以下定结论，如果两个因数均是“四舍”取值，估算结果要比精确结果小，必定在精确值的左边;反之，如果两个因数均为“五入”取值，估算结果一定都在精确值的右边。

四、新方法的局限性

笔者惊奇地发现，“二维交叉数轴法”对于乘法估算中的“居左”还是“居右”是一套行之有效的办法！笔者继续顺着这个思路思考：1.有没有反例呢？2.是否存在这样的算式，它的居中估值与精确值的交点正好落在中轴线上？后来笔者尝试将第二个问题用反证法解决：根据对称原理与三角形全等原理，如若近似值与精确值的交点正好落在中轴线上，那么估计值就等于精确值，此时两个因数之和正好是整十或整百数。然而事实令人大跌眼镜——两个值只是很接近。比如以下两组：①48x52=2496——50x50=2500（估大了）;②42x58=2436——40x60=2400（估小了）。可见，“二维交叉数轴法”只能解释一般现象，遇到一些特殊情况时则会失效，需要分开讨论。

虽说笔者的探索发现似乎没有多大价值，但这体现了数学的“网络式关联”，反映了数学趣味所在，让人体验到数学也可以这么好玩。而在好玩的背后，折射出的是数学学科的严谨性和逻辑性。