光学元件表面离子束抛光过程边缘效应抑制

李晓静，王大森，王刚，张旭，张宁，裴宁，聂凤明，齐子诚

（1.中国兵器科学研究院宁波分院，浙江 宁波 315103；2.成都精密光学工程研究中心，成都 610041；3.长春理工大学 电子信息工程学院，长春 130022）

现代光学系统（如强激光系统、光刻系统、空间光学系统）的发展对光学元件表面质量提出了更高的要求。离子束抛光（IBF, Ion Beam Figuring）是一种高精度、确定性的无接触式光学表面加工技术，在现代超精密光学元件的加工过程中发挥着重要作用[1]。对光学元件表面加工残差的确定性修正，能使加工精度达到纳米数量级[2]。相对于传统抛光方法，离子束抛光技术具有下述特点[3-4]：加工精度高，确定性好，为非接触式加工。

离子束抛光基于物理溅射效应，去除光学元件表面材料。在离子束抛光加工过程中，离子束由计算机控制，沿着设定的路径抛光光学元件表面，通过控制离子束在不同驻留点驻留的特定时间，实现对元件表面误差的确定性去除，改善元件表面面形。因此，驻留时间的精确求解是离子束抛光的关键步骤，直接关系着元件最终的加工精度[5]。

离子束抛光技术的关键步骤是根据去除函数和期望材料去除量求解驻留时间函数，计算得到的驻留时间的精度直接影响抛光加工过程中光学元件面形的精度和收敛率。驻留时间求解方法主要有线性方程组法[6-8]、迭代法[9]、傅里叶变换法[10]和代数法[11]，其中，文献[12]提出了一种新型的拼接算法计算驻留时间。

脉冲迭代法、傅里叶变换法、数值迭代法和矩阵求解法等是常见的驻留时间求解方法[13]。其中脉冲迭代方法存在计算发散的问题；傅里叶变换法需多次调整参数来实现驻留时间解的非负；数值迭代法计算效率较低，因为有时会发生振荡而不能收敛，使用率较低；矩阵方程法是将求解驻留时间的解卷积过程转换为对线性矩阵方程求解，使计算过程大幅简化[14]。

在使用线性方程组模型求解驻留时间时，通常会对误差面形和驻留时间采用相同的网格划分，但这样的网格划分会引起边缘效应的产生。为此，本文研究了使用截断奇异值方法求解线性方程组模型的过程，分析了使用相同网格划分产生边缘效应的原因，并采用驻留时间网格延拓的方法抑制了边缘效应的产生。

1 使用TSVD方法求解线性方程组模型

1.1 采用线性方程组模型进行驻留时间函数求解

离子束抛光技术是一种由计算机控制光学元件表面的成形技术（Computer Controlled Optical Surface, CCOS）。根据CCOS原理，离子束抛光过程中的材料去除量可以由公式（1）表示[15]。

式中：E(x,y)是离子束抛光加工过程中元件表面的材料去除量，T(x,y)是离子束在光学元件表面的驻留时间函数，R(x,y)是去除函数[16]。在抛光过程中，材料期望去除量Ed(x,y)根据待加工光学元件的测量面形和期望面形相减来获得，去除函数一般在抛光加工之前确定。

在数控系统的精确控制下，离子束按照设定的光栅扫描路径及计算的驻留时间，扫描光学元件表面所有的采样点，离子束对光学元件表面某采样点的总的材料去除量如式（2）所示。

式中：i=1,2,···,ns,ns是采样点总数，j=1,2,···,nd,nd是驻留点总数。Eai是离子束对光学元件表面采样点（xsi,ysi）总的材料去除量，r(xsi-xdj,ysi-ydj)为离子束停留在驻留点（xdj,ydj）时，对采样点（xsi,ysi）的材料去除率（图1），tj是离子束在驻留点（xdj,ydj）的停留时间。

令r(xsi-xdj,ysi-ydj)=rij，则式（1）可以改写成式（3）。令式（3）的左侧为期望材料去除量Ed，将求解驻留时间的解卷积操作转换为对线性方程组的求解[17]。

1.2 使用TSVD方法求解线性方程组模型

本研究采用截断奇异值分解（Truncated Singular Values Decomposition, TSVD）正则化方法来求解线性方程组的近似解，并将其作为驻留时间函数。因为上述用于求解驻留时间函数的线性方程组公式（3）通常是个病态方程，不易得到唯一的精确解，所以在求解离子束抛光的驻留时间函数时，使用的线性方程组模型多数求取近似解，而不是精确求解。

对矩阵R进行奇异值分解：

式（5）是使线性方程组的残差最小的解[1]。

矩阵R的奇异值σi会随着i值的增大而逐渐减小，最终趋近于0，式（5）中驻留时间t1的数值变化很大，无法作为驻留时间函数用于实际的离子束抛光。

为了降低小奇异值对驻留时间幅值的影响，将使用TSVD正则化算法求得的线性方程组的解作为驻留时间，方程组的TSVD解tk为[18]：

式中：正则化参数k称为截断参数，其控制着σi中的小奇异值对解tk的影响。

由TSVD算法求解得到的驻留时间并不总是非负解，在驻留时间解出现负值时，采用将驻留时间整体偏移的方法，保证驻留时间函数的非负性，因此最终的驻留时间t为：

式中：tkmin表示tk中的最小值。

2 TSVD算法中边缘效应的抑制

当元件误差面形和离子束驻留时间采用相同的网格划分时，采用TSVD方法求解线性方程组得到的驻留时间，在模拟计算仿真结果中就会出现边缘效应。这是由于式（7）中在求解驻留时间时出现了负值，为保证驻留时间的非负性，采用了将驻留时间整体偏移的方法，产生偏移，所有的驻留点上额外驻留相同的时间，导致在光学元件表面产生一层不均匀的材料去除。

当面形采样点和离子束驻留点采用相同的网格划分，在所有的驻留点上加工时间相同时，根据离子束抛光的材料去除函数（公式1）将驻留时间和去除函数进行卷积运算，材料去除量计算结果如图2a所示。当离子束在所有的驻留点上驻留相同的时间时，材料去除量在光学元件边缘部分的分布明显低于中间部分。因为元件边缘部分的采样点有去除作用的驻留点的数量要低于光学元件的中间部分。

本研究将扩大驻留点网格的范围，使对元件边缘部分的采样点有去除作用的驻留点的数量与元件中间部分的相同，从而避免上述问题的产生。向外进行延拓驻留点的网格范围，延拓的距离大于所使用的离子束的半径（图3），材料去除量的计算结果如图2b所示。为易于分析，将图中光学元件面形的采样点范围内的数据向上进行了整体平移。由结果可知，驻留时间的网格进行了边缘延拓后，在所有的驻留点上停留相同的时间，对元件面形所在区域可以实现均匀的材料去除。

3 仿真实验

根据离子束抛光过程中的材料去除量公式（式1），按上述网格的划分建立线性方程组模型，通过TSVD方法计算驻留时间后，对求得的驻留时间和去除函数进行卷积运算，获得预计的材料去除量。再将元件的测量面形和预计的材料去除量面形相减，即可得到残留面形。

3.1 误差面形和去除函数

选用直径为50 mm（取有效孔径90%）的熔融石英光学元件，其面形PV值为104.489 nm，RMS值为28.009 nm。使用间距为1 mm、行列数为46×45的采样点网格（图4a），对光学元件表面误差进行均匀采样，用测量面形减去面形中的最小测量值作为期望的材料去除量，计算得到的期望材料去除量面形如图4b所示。

在离子束抛光过程中，始终保持离子束垂直入射光学元件表面，故模拟仿真时使用的去除函数的形状是回转对称的高斯型。采用与实际加工时相同的去除函数，参数为：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全宽10.52 mm（图4c）。

3.2 驻留时间采用和误差面形同样的网格划分

建立线性方程组模型，使用TSVD方法求解线性方程组。仿真时截断参数k为80，图5是仿真得到的驻留时间面形和残留面形。仿真结果表明，当驻留时间采用和面形误差同样的网格划分时，残留面形不收敛，且发生严重的边缘效应。

3.3 驻留时间网格进行延拓

驻留时间网格在误差面形网格划分的基础上进行延拓，延拓后的驻留时间网格划分如图6所示。建立线性方程组模型，使用TSVD方法求解线性方程组。仿真过程选取截断参数k为80，图7是仿真加工得到的驻留时间面形和残留面形。仿真结果表明，元件的面形PV值由初始的104.489 nm下降到11.675 nm，RMS值由28.009 nm收敛到1.572 nm，且没有边缘效应产生。

3.4 离子束抛光实验

为进一步证明模拟结果的有效性，针对平面融石英光学元件开展了离子束抛光实验研究，见图8。使用的实验参数为驻留时间与其他工艺参数的优化组合。实验采用射频离子源RF40，离子束直径d为8 mm，实验过程中设定最优延拓距离大于4 mm，去除函数参数为：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全宽10.52 mm。融石英光学元件经过表面清洁处理后，夹持在夹具上放入真空腔室，待离子源离子束束流稳定后，进行离子束抛光。实验选取部分检测结果，如图9所示，抛光前后，PV值由102 nm降为37 nm，RMS由23 nm降为2 nm。

4 结论

驻留时间的精确求解是离子束抛光过程中的关键步骤。本文研究了使用截断奇异值分解方法求解线性方程组模型，确定驻留时间的过程，当采样网格和驻留时间网格划分相同时，会导致边缘效应的出现。将驻留时间矩阵的网格划分进行延拓后，克服了边缘效应的产生。对平面光学元件面形进行仿真加工，残留面形没有边缘效应产生。仿真结果表明，使用驻留时间网格延拓的方法，不仅可以有效抑制边缘误差的产生，还可以得到精确的驻留时间解。