通解“冰雹猜想”

张奎福

(吉林省松原市长岭县巨宝山镇 131533)

一、符号

± 在3X+1中是+，在3X-1中是-

∣a∣a的绝对值

[x] 不大于x的最大整数

lnaa的自然对数

r=ln3/ln2～12.6797/8

2[nr+1]恰大于3n的2的幂

∞ 无穷大

±a(n)Q±(±a)=n

二、定义

a0是a的最大奇数因子，an是3an-1±1的最大奇数因子，求an叫做冰雹变换，n是步数.若∣an∣首先小于∣a∣，则a是n步恰小的，记做Q±(a)=n.

三、猜想

1950年考拉茨(L.Collaz1910～1990)提出：

在3X+1中，任一大于1的整数经过冰雹变换，最后得1.即：大于1的整数a经过冰雹变换，都有一个n使Q+(a)=n.在3X-1中，任一大于1的整数经过冰雹变换，最后得1，5，17中的一个.即：大于17的整数a经过冰雹变换，都有一个n使Q-(a)=n.

四、“正负相通”定理

Q+(a)=Q-(-a)，Q-(a)=Q+(-a).

证明：∵∣3X+1∣=∣-(3X+1)∣=∣3(-X)-1∣，∴Q+(a)=Q-(-a).∵∣3X-1∣=∣-(3X-1)∣=∣3(-X)+1∣，∴Q-(a)=Q+(-a).定理成立.

“正负相通”说明，光研究正数就行.

五、“等步恰小”定理

若Q±(a)=n，则Q±(2[nr+1]k+a)=n.

证明：设Q±(2tk+a)=Q±(a)=n，r=ln3/ln2.∵经过n步冰雹变换,annln3/ln2=nr，∴t的最小值是[nr+1]，3nk+an<2tk+a=2[nr+1]k+a，即Q±(2[nr+1]k+a)=n，定理成立.

“等步恰小”说明，n步以内，光研究2[nr+1]以内的数就行.

六、“加减互补”定理

Q+(2[nr+1]k+a)=Q-(2[nr+1]k-a)，Q-(2[nr+1]k+a)=Q+(2[nr+1]k-a)，

证明：由“等步恰小”定理知：

Q±(2[nr+1]k+a)=Q±(a),

Q±(2[nr+1]k-a)=Q±(-a).

由“正负相通”定理知：

Q+(2[nr+1]k+a)=Q+(+a)=Q-(-a)=Q-(2[nr+1]k-a)，

Q-(2[nr+1]k+a)=Q-(+a)=Q+(-a)=Q+(2[nr+1]k-a)，定理成立.

“加减互补”说明，光研究3X+1就行.

七、“步数无限”定理

步数没有最大值.

证明：设n是最大值.∵Q-(1,5,17)无值，由“等步恰小”定理知：Q-(2[nr+1]k+1,5,17)>n，n步未小.由“加减互补”定理知：Q+(2[nr+1]k-1,5,17)>n，n步未小.∴假设不成立，步数没有最大值，定理成立.

“步数无限”说明，研究没有止境.我验证到20步，光20步恰小就5936673个.

八、“大数必小”定理

a>17时，Q±(a)=n有解.

证明：∵每步冰雹变换都乘以3一次，除以2至少一次,∴除以2的平均次数是冰雹升降趋势的决定因素.∵每次除以2后，结果是偶数的概率是1/2，∴平均每步冰雹变换除以2的次数为Cs=2-2-s，C∞=2-2-∞=2，(s=[ln3a/ln2]).

冰雹趋势：2Cs<3时为升，2Cs>3时为降.当a>17时，s=[ln3a/ln2]≥[ln51/ln2]=5，当s≥5时，4>2Cs>3.914288>3.9>3，趋势为降.虽然有一半的变换效果相当于乘以1.5(只除以一次2时，3/2=1.5)，但整体看每步变换的平均效果相当于除以1.3多(3.9/3=1.3).尽管有些数开始时徘徊上升，甚至升得很高，但由于“步数无限”，因此必将变为更小.∴Q±(a)=n有解,定理得证，“冰雹猜想”成立.

“大数必小”说明，寻找理论才是研究的捷径.

九、逐步验证法

n步:

恰大于3n的2的幂是2[nr+1]，验证2[nr+1]内的n-1步未小，得到n步恰小及未小.

0步：30=1，恰大于1的2的幂是2=21，验证整数2k±0,1知Q±(0)无值.Q±(21k)=0.0步未小2k±1.

1步：31=3，恰大于3的2的幂是4=22，验证0步未小22k±1,3知Q±(1)无值.Q±(22k±1)=1.

1步未小22k±3(2).

2步：32=9，恰大于9的2的幂是16=24，验证1步未小24k±3(2),7(4),11(3),15(4)知Q±(24k±3)=2.

2步未小24k±7(4),11(3),15(4).

3步：33=27，恰大于27的2的幂是32=25，验证2步未小25k±7(4),11(3),15(4),23(3),27(37),31(35)知Q±(25k±11,23)=3.3步未小25k±7(4),15(4),27(37),31(35).

4步：34=81，恰大于81的2的幂是128=27，验证3步未小27k±7(4),15(4),27(37),31(35),39(5),47(34),59(4),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9)知Q±(27k±7,15,59)=4.4步未小27k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9).

5步：35=243，恰大于243的2的幂是256=28，验证4步未小28k±27(37),31(35),39(5),47(34),63(34),71(32),79(5),91(28),95(5),103(26),111(19),123(5),127(9),155(25),159(13),167(18),175(5),191(8),199(5),207(9),219(5),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8)知Q±(28k±39,79,95,123,175,199,219)=5.5步未小28k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),51(17),255(8).

6步：36=729，恰大于729的2的幂是1024=210，验证5步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),287(6),303(8),319(13),327(13),347(6),359(10),367(6),383(7),411(9),415(9),423(6),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),507(6),511(11),539(8),543(8),559(10),575(6),583(6),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),735(6),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),815(6),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),923(6),927(23),935(7),959(13),975(6),991(16),999(6),1007(13),1019(7),1023(11)知Q±(210k±287,347,367,423,507,575,583,735,815,923,975,999)=6.

6步未小210k±27(37),31(35),47(34),63(34),71(32),91(28),103(26),111(19),127(9),155(25),159(13),167(18),191(8),207(9),223(19),231(7),239(12),251(17),255(8),283(15),303(8),319(13),327(13),359(10),383(7),411(9),415(9),447(25),463(7),479(10),487(12),495(17),511(11),539(8),543(8),559(10),603(10),615(7),623(8),639(14),667(15),671(24),679(8),703(51),719(8),743(15),751(13),763(12),767(10),795(17),799(8),831(9),839(9),859(10),871(22),879(7),895(15),927(23),935(7),959(13),991(16),1007(13),1019(7),1023(11).

7步：37=2187，恰大于2187的2的幂是4096=212，…一数看尾辨单双，二除双数取单忙，三单加一再求半，似乎早晚回一乡，吾言此事你不信，遛遛各数可平常，其实此问多年有，八方请教无人帮，久久求证不得解，实实难坏数学狂.十分得意新思路，久求必小也相当，扒丝破茧真捷径，其中诀窍可分享，六步恰小十二系，五内恰小十五行，似阶公差怎求得，三乘几次几步量，二底三对乘步数，一加看整二的方.