理论与实践相结合的大学物理实验模式——以惠斯通电桥实验为例

何晓勇，卢红霞

（1.上海师范大学数理学院，上海 200234；2.郑州大学材料科学与工程学院，河南 郑州 450001）

一、引言

大学物理实验是高校开设的一门必修基础课程，但目前其内容大多为验证性原理实验，忽视了相应的理论研究分析，从而导致实际操作与理论分析的偏离，也不利于教学质量的提高和实验课程的改进提高。为了解决这一问题，我们以惠斯通电桥测电阻这一典型的大学物理实验为例，采用理论分析与实验相结合的方法对大学物理实验课程内容和教学方法的提高改进进行了尝试和探索性研究。惠斯通电桥是英国物理学家惠斯通（C.Wheatstone）在1843年提出的，由桥臂电阻、电源和检流计等电学元器件组成，通过比较被测电阻与标准电阻得到测量结果[1，2]。惠斯通电桥的原理图如图1所示，电桥的四个桥臂由R1、R2、Rx和Rs组成，其中Rx为被测电阻，Rs为高精度标准电阻，R1和R2为比较电阻，BD两端连接检流计。所谓的“桥”是指检流计G所在支路，其作用是将“桥”两个端点的电位进行直接比较，桥两端的电位相等时，检流计中无电流通过，指针为零，BD之间的电势差为零，电桥达到平衡。惠斯通电桥作为一种直流、单臂、平衡式电桥，可用来测量中高阻值的电阻，其测量范围一般为10—106欧姆，具有操作简便、灵敏度和测量精度高等优点[3]。

惠斯通电桥在实际测试技术中也应用很广，能够引起电压变化的效应及有关量都可以通过该方法测量。根据电桥平衡原理构成的电子线路仪器，不仅可以测电阻、电容、电感，还能间接测量一些非电学量，如温度、压力、金属电阻的温度系数、热敏电阻的温度特性函数等[4]。例如，有人采用电桥法测量钢丝的杨氏模量[5]，其原理是将外加应力作用下钢丝长度的变化传递给平行板电容器，从而导致电容器极板间距和电容的改变，通过电桥间接测量电容的改变，得到钢丝对应的杨氏模量值。另外，最近惠斯通电桥还被用来检测波导传输能量的改变，图2为其在混合模式波导结构中进行传输能量检测方面的应用实例[6]。衬底MgF2的热导率远小于上面的PMMA介质层，在理想情况下波导传输过程中所产生的热量会大部分进入介质层中，从而引起介质层包覆的Au温度升高，所升高的温度可以表示为：

其中αabs为金属层所引起的表面等离子激元模式吸收，Pin是耦合金属表面等离子激元波导结构的总能量，αpr是传播模式的衰减系数，x为传播长度。如图2（b）所示，金属层获得热量以后温度升高，从而导致其电阻值发生改变，金属层电阻可以表示为：

其中L为金属层的长度，αth为金属的热阻系数。采用外接的惠斯通电桥可以检测到金属层电阻的改变，当电桥平衡的情况下，信号电压可以表示为：

这样，通过外界的惠斯通电桥测量b点和d点之间的电压就可以间接检测到传播模式的能量变化情况。

图1 惠斯通电桥的原理示意图

图2 惠斯通电桥应用于表面等离子激元波导能量传输方面的典型应用实例

（a）混合模式表面等离子激元波导结构示意图，传播模通过单模光纤耦合进入混合模式波导结构；（b）混合模式波导结构的截面图；（c）基于惠斯通电桥结构的能量检测结构图，其中PMMA介质层的宽度为1μm，金属层的宽度为4μm，外加偏压施加在a和c点，信号电压通过b点和d点获得。

二、研究方法

电桥灵敏度是影响测量精度的一个重要因素，一般来讲灵敏度越高测量精度也越高。另外在大学物理实验教学过程中，电桥灵敏度也是物理实验中使用计量器具最多、分析最困难、结论最复杂的参量之一。因此，研究惠斯通电桥的灵敏度具有很高的理论研究价值和实际应用价值。电桥灵敏度是指在平衡电桥中调节比较臂电阻R1，使之改变一个微小量ΔR1，当指针偏离平衡位置分度时，则电桥灵敏度可以定义为[7]：

由检流计电流灵敏度的定义可知Δα=SiΔIg，Si为检流计电流灵敏度，ΔIg为调节臂电阻微小变化ΔR1所导致检流计的微小偏转Δα时相对应的不平衡电流。根据基尔霍夫定理经过推导整理，惠斯通电桥的灵敏度可以表示为[8]：

其中U为电源电动势，Rg为检流计内阻。由公式（5）可知，电桥灵敏度与电路中各因素有关，如检流计的灵敏度Si和内阻Rg、电源电压U、桥臂总电阻、桥臂电阻的搭配（比例臂系数γ，R1/R2）都有关。用电桥法测电阻时，通过提高电桥灵敏度S，可以减小测量误差。电桥灵敏度与电源电动势U和检流计灵敏度Si成正比。电压越高，灵敏度越高；但电动势过高会使得流过各桥臂的电流加大，导致电学元件过载使用，限定了电源电压的值。检流计灵敏度也不宜过大，太大Si会导致电阻箱不连续调节而使得检流计不能示零。此外电桥灵敏度还与桥臂电阻值与桥臂电阻比例系数的选取有关。

惠斯通电桥特性的研究对于改进物理实验教学以及提高实际测量技术的精度有重要意义，探求电桥工作在最大灵敏度的最佳状态，也是理论研究和各种技术应用中设计电路的关键所在。在已有的研究成果中为提高电桥的灵敏度，一般采用内阻低、灵敏度高的检流计，并适当提高电源的电动势。但是由公式（5）可知，桥路的灵敏度与桥臂电阻倍率有很大的关系。怎样选取最佳的倍率才能使得灵敏度达到最大值是一个非常重要的问题，这方面的研究分析还不多见。此外，在自组电桥方法测电阻时，也要首先选取合适的倍率臂电阻，这直接影响检流计灵敏度和实验结果的误差。选取合适的桥臂电阻倍率值提高电桥的灵敏度，这不仅对大学物理实验中自组电桥测电阻实验有直接的指导意义，而且对提高电桥仪器设计方法和提高性能也有很好的借鉴作用。因此，很有必要对电阻倍率（γ）对电桥灵敏度的影响展开详细深入研究。本文采用数值计算的方法对惠斯通电桥灵敏度与各桥臂阻值及比例之间的关系进行了模拟分析，研究了桥路灵敏度与桥臂电阻、桥臂电阻倍率和检流计内阻的关系，并对怎样提高灵敏度进行了分析讨论。

三、灵敏度的数值模拟分析

如图3为惠斯通电桥的灵敏度随桥臂电阻倍率的变化关系，其中R1的取值分别为10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω，标准电阻Rs为1000Ω。由图3可知，电桥灵敏度随着电阻倍率的变化出现一个峰值，在等比率倍率，即倍率为1左右时灵敏度最大。另外由公式（5）可知，随着电阻R1的增加，分母值变大，导致桥路中灵敏度降低，因此在操作过程中为提高灵敏度，应该采用阻值较小的电阻。此外，随着电阻R1的增加，灵敏度的峰值随着电阻倍率较小的方向移动。例如，灵敏度峰值的最大位置所导致的峰值分别为4.468×10-4（γ=2.340），3.923×10-4（γ=1.912），2.273 ×10-4（γ=0.9992），1.603 ×10-4（γ=0.7230），5.597×10-5（γ=0.3303），当R1的值分别为100Ω、200Ω、1000Ω、2000Ω和10000Ω。因此，当被测阻值在1000Ω左右时采用等比率电桥较为合适。

图3 惠斯通电桥的灵敏度随桥臂电阻倍率变化的规律

其中桥臂电阻R1的值分别为10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。电源电压为5V，标准电阻Rs为1000Ω。

图4 惠斯通电桥的灵敏度随桥路电阻倍率的变化关系

其检流计的内阻值分别为10Ω、20Ω、50Ω、100Ω、200Ω、300Ω、500Ω和1000Ω，标准电阻Rs为1000Ω，R1的阻值为1000Ω。如图4为不同内阻下惠斯通电桥灵敏度随桥臂电阻倍率的变化关系，其中检流计内阻值分别为10Ω、20Ω、50Ω、100Ω、200Ω、300Ω、500Ω和1000Ω。电源电压为5V，标准电阻Rs和R1均为1000Ω。由图4可知，电桥灵敏度随着倍率的变化出现一个峰值。随内阻Rg的增加，灵敏度最大值增加。例如，灵敏度峰值的最大位置所导致的峰值分别为2.381×10-4，2.273×10-4，2.083×10-4，1.667×10-4，1.250×10-4，当R1的值分别为50Ω、100Ω、200Ω、500Ω和1000Ω。

如图5为惠斯通电桥的灵敏度随检流计内阻的变化关系，其R1的内阻值分别为10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。电源电压为5V，标准电阻Rs为1000Ω，Rx的阻值为1000Ω。R1的阻值分别为10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。随着检流计内阻的增加，桥路的灵敏度下降。另外，由公式（5）可知，随着比较臂电阻值的增加，桥路的灵敏度明显下降。例如，当检流计内阻为100Ω的情形下，如果比较臂的电阻分别为100Ω、200Ω、1000Ω、2000Ω和10000Ω，则桥路的灵敏度为3.852 ×10-4，3.576 ×10-4，2.275 ×10-4，1.563×10-4，4.465×10-5。因此，在实际测量过程中应采用较小的比率臂电阻。

图5 惠斯通电桥桥路的灵敏度随检流计内阻变化的规律

其R1的内阻值分别为10Ω、100Ω、200Ω、500Ω、1000Ω、2000Ω、5000Ω和10000Ω。电源电压为5V，标准电阻Rs为1000Ω，R1的阻值为1000Ω。

四、结语

为了提高大学物理实验课程的教学效果，本文以惠斯通电桥实验为例，采用理论分析与物理实验相结合的方法，对电桥灵敏度进行了模拟研究，并给出了提高电桥灵敏度的方法。研究结果表明：随着桥臂电阻的减小，电路灵敏度提高；随着电阻倍率的增加，线路灵敏度出现一个峰值，对应的最佳倍率值随桥臂电阻值的增加而降低。总之，为获得较高的电桥灵敏度，我们应该适当采用较小的桥臂电阻值，采用最佳的桥臂电阻倍率（如当被测阻值在1000Ω量级的情况下，最好采用等比率电桥），并且适当提高电源电动势和检流计的灵敏度。我们的工作和尝试教学对于提高大学物理实验的教学工作和实际测量的准确度都很有帮助。