整体建模，在思维中学会思维

鲍善军 郑书娟

[摘 要]教学“植树问题”时，创设开放问题，以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，进而沟通各模型间内在的变化与联系，让学生打破原有的思维模式，重建新的知识体系。在这个过程中，学生对原有的解题策略进行了一次全新的扩充，整体建构“植树问题”的数学模型。

[关键词]数学模型;植树问题;应用意识

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）35-0061-03

【教学内容】人教版教材五年级上册“数学广角：植树問题”

【教学目标】

1.通过探究、实践等数学活动，理解并掌握植树问题的三种情况及其植树棵数与间隔数之间的关系，能正确解决植树问题。

2.经历植树过程并推广到生活中的类似问题，掌握解决植树问题的多种策略，渗透一一对应、化曲为直等数学思想方法，提高应用数学解决实际问题的能力。

3.经历探究、类比、迁移等活动过程，体验学习成功的乐趣，感悟数学学习的价值，形成学数学、用数学的意识。

【教学实践】

一、谈话：在生活情境中理解“间隔”

师：在数学王国里，植树可是大有学问的。这节课，我们就一起用数学的眼光来探讨“植树问题”。我们在种树过程中，是不是这里一棵、那里一棵的随便乱种呢？

生：不是！一般情况下，每两棵树之间的距离都是相等的。

师：是的，每两棵树之间的距离在数学上有一个专属名词，叫作“间隔”。接下来，我们就按这样的方法来种树。

【设计意图：点题形式的开门见山，拉近数学课堂与生活现实的距离。在生活情境中解读“间隔”，扫除学生的理解障碍，避免学生在下一步解决问题过程中产生认知偏差。】

二、探究：在多重体悟中建构模型

1.自主探究，解决“植树问题”

出示：学校有一条长20米的小路，打算在小路的一边种树，按照每隔5米种1棵的要求，你觉得可能会种几棵？

师：要解决“可能会种几棵”这个问题，首先要明确哪几个信息？

生1：长20米的小路，每隔5米种1棵。

生2：在小路的一边。

师：是的。这里的每隔5米种1棵，就是之前我们理解的“间隔长”。请独立思考，并把你的思考方法在本子上用算式或者线段图的方式表示出来。（学生尝试，教师巡视）

2.反馈交流，凸显“只种一端”

师：在长20米的小路一边种了几棵树？

生3：我种了4棵。

生4：我种了5棵。

师：现在出现了两种方案，分别是4棵和5棵。

生5：按照每隔5米种1棵的要求，也就是说间隔长是5米，20÷5=4（棵）。

师：那按照生5的方法来种树，请看大屏幕。

师：第1个5米种第一棵，第2个5米种第二棵，第3个5米种第三棵，第4个5米种第四棵。你们也是这样想的吗？

生6：我觉得起点还要种1棵，应该是种5棵。

师：生6说应该是种5棵，生5有什么想法吗？

生5：问题中说“你觉得可能会种几棵”，那生活中也有可能起点处不种的。

师：现实生活中，什么时候起点处是不种的？

生5：有障碍物的时候，假如起点处是教学楼，就没法种了。

生6：起点处不能种了，这样就只能是种4棵。

师：像这样，起点或终点处有障碍物的，就把这种植树情况叫作只种一端。只种一端时，间隔数和棵数之间有什么关系呢？

生7：只种一端时，间隔数=棵数。

师：是的。只种一端时，1个间隔对应着1棵树，这样的关系在数学上叫作一一对应。

【设计意图：充分利用问题资源，以“可能”引发思维，以“可能”提升思维。以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，为进一步沟通各模型间内在的变化与联系做好孕伏。】

3. 类比迁移，探究“多元植树”

师：刚才我们研究了“只种一端”的植树情况，还可以怎样植树？

生8：我是种5棵的，用线段图表示，就是在前面起点处再种上1棵。

师：这位同学把每两棵树之间的间隔都标出来了，真棒！两端都要种，应该怎样列算式？

生8：20÷5+1=5（棵）。

师：20除以5的商再加1，这里的商是指什么？

生8：商4表示有4个间隔，每个间隔对应一棵树。

师：是啊！每个间隔都与1棵树对应，4个间隔就对应4棵树，为什么要加1呢？

生8：因为现在是两端都要种，我们要加上起点或终点处的那1棵，所以一共种5棵。

师：两端都种时，间隔数与棵数之间又有怎样的关系？

生9：两端都种，间隔数+1=棵数。

生10：如果两端都有障碍物，是不是可以理解为“两端不种”？

师：其他同学认为呢？

生11：两端不种，就是不但起点的1棵不种，终点的1棵也不种。因此，间隔数-1=棵数，列式是20÷5-1=3（棵）。

师：看来大家思维大爆发。在一条20米长的小路上，每隔5米种1棵树，我们研究出了几种方案？它们又有什么异同？

【设计意图：把三种情况整合在一个开放的问题情境中，放在一起让学生辨析，学生发散了思维，拓宽了思路，使得数学思想方法真正得以渗透，整体建构起“植树问题”的数学模型。】

4.深入探究，在变中找关联

师：对于“在一条长20米的小路一边植树”，还有不同的想法吗？

生12：我有个疑问，题目中并没有说明这条路是一条笔直的线段，难道这条路不可以是一个封闭图形吗？比如说，围成一个圈。

师：你的思考太有价值了！现实中，这条路完全有可能是一个封闭图形！比如，圆形草坪的外面有一条小路，周长是20米，这时该怎么植树呢？

生13：20÷5=4（棵），我是通过画图得到的。

师：在圆形草坪周围植树，间隔数和棵数有什么关系？

生14：间隔数=棵数。只要把圆形草坪外的小路展开，得到一条线段，就很清楚了。

师：可以看到，起点和终点正好重合了，也就是“只种一端”。

（课件演示;师生张开双臂模拟）

师：通过刚才的研究，我们发现在圆形草坪周围植树，棵数正好等于间隔数。那么，其他封闭图形是不是也存在这样的规律呢？比如，正方形、椭圆形、五边形……

生15：所有的封闭图形都可以像圆一样，只要断开后拉直，就得到一条线段。而这个断开的点既是线段的起点，也是线段的终点。

生16：在封闭图形中植树，与在一条线段上只种一端的植树相同，棵数正好等于间隔数。

师：对！“封闭图形中的植树问题”就相当于“在一条线段上植树”的“只种一端”。在这里，什么相当于路长？

生17：周长相当于路长。

强化板书：

（1）只種一端  20÷5=4（棵）  封闭图形：圆、正方形……

（2）两端都种           20÷5 +1=5（棵）

（3）两端不种           20÷5-1=3（棵）

【设计意图：在同一问题中，先通过化曲为直体会到在圆形草坪周围植树的间隔数和棵数的一一对应，再拓展到正方形、椭圆形等其他封闭图形，引导学生发现封闭图形中的植树问题与线段上的植树问题之间的紧密联系，实现学生从对模型的感知到对模型的优化过程。】

三、巩固：在模型应用中丰富理解

1.只列式不计算（略）

2.举例拓展

师：为什么锯木头、架设电线杆、插彩旗等问题都可以用植树问题的方法来解决？

（学生回答略）

师：在生活中有很多类似于植树的问题都可以用今天学习的方法解决。老师也搜集了一些类似于植树问题的图片。请边欣赏边思考“什么相当于‘树，什么相当于‘间隔”。

【设计意图：在整体建模的基础上，将植树问题对应的策略推广到生活中，使学生明白“植树问题”只是一种类型，可以把解决植树问题的方法应用到生活中类似于植树问题。】

四、小结：在过程回顾中总结收获

师：通过这节课的学习，你有什么收获与感受？

【教学反思】

“植树问题”虽然被编入“数学广角”，但它依然不缺少“解决问题”的特性，即问题的复杂性和策略的模糊性。杨振宁先生说过：“过去的学习方法是人家指出路让你去走，新的学习方法是要自己找路去走。”“找路”，在这里无疑表现为学生主体在教师引导下对“解题策略”的构建。笔者通过整合教材，创设开放性问题“学校有一条长20米的小路，打算在小路的一边种树，按照每隔5米种一棵的要求，你觉得可能会种几棵？”，以核心模型“只种一端”为抓手，凸显间隔数与棵数的一一对应，进而沟通各模型间的联系，让学生“跳出来”，打破原有的思维模式，重建新的知识体系。在这个过程中，学生对原有的解题策略进行了一次全新的扩充，整体建构起“植树问题”的数学模型。

“智慧生成于思考过程中。”“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。教学中，关注学生已有的知识经验，通过简单的事例，将封闭图形中的植树问题蕴含在“一条长20米的小路”中，在学生充分探究“一条线段上植树”的基础上提出疑问，启发学生进行数学思考：原来这条小路还可以是“一个封闭图形”！如此，打通不同类型“植树问题”之间的关联，让学生明白解决“植树问题”还要联系生活实际，丰富学生对“植树问题”内涵和外延的扩充。

郑毓信教授指出：“数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使他们想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”“植树问题”只是众多数学问题中的一个点，无数个点组成小学数学知识的整体。教师只有潜心研究每一节课，通过对教材内容的思考与整合，在教学实践与问题解决的过程中帮助学生建构好数学模型，交给学生解决问题的“金钥匙”，促使学生在思维中学会思维，才能让核心素养真正落地开花。

（责编 金 铃）