解题之道 在于悟法

过小明

方程的出现源于解决实际问题的需要，方程是刻画现实世界中等量关系，的有效的数学模型.

一元一次方程是其他类型方程的基础，在数学知识体系中起着至关重要的作用.一元一次方程的知识点包括：基本概念、等式性质、解方程等，要想高效掌握解题方法，灵活运用知识，必须掌握几种数学思想.

一、整体思想

整体思想是将注意力放在问题的整体结构上，着眼于宏观上的整体分析.运用整体思想，往往能事半功倍，出奇制胜.

点评：将x+l和x-l分别看作一个整体，通过整体移动，整体合并，解答就很简捷，同时省略了去分母的步骤，简化了去括号的过程.

应用整体思想，要从结构上对问题的条件进行分析，把握问题的整体特征，对问题进行整体处理.

二、分类思想

分类的原则是“不重复、不遗漏”.先确定分类的标准，然后将问题分成几个部分或者几种情况，逐一解决，各个击破，最后得出结论，

点评：当方程含有字母参数时，方法步骤与一般方程一样.把方程化为ax=b的形式后，在进行“系数化为1”时，要根据等式的基本性质进行分类讨论.注意：最后的解不能合并，只能分情况进行说明，

例3 已知A.B两地相距120 km，一辆汽车以每小时50 km的速度从A地出发，另一辆货车以每小时40 km的速度从B地同时出发，两车相向而行.经过多长时间两车相距30 km？

解析：两车相遇前相距30 km：行程之和+30 km=两地距离;两车相遇后相距30 km：行程之和-30 km=两地距离，

设经过x小时两车相距30 km.根据题意，得：

①两车相遇前相距30 km：50x+40x+30=120.解得x=l;

②两车相遇后相距30 km：50x+40x-30=120，解得x=5/3.

答：经过l小时或5/3小时两车相距30 km

点评：对于“两车相距30 km”这个条件，要分类讨论.分别是“两车相遇前相距30 km”和“两车相遇后相距30 km”.

分类思想往往用于解决开放性问题，如解含字母参数的方程、含绝对值符号的方程，以及解决有关方案设计的实际问题.解题时需要考虑可能出现的所有情况，然后总结分析，

三、转化思想

数学学习中，转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的基本思想.转化的纽带是新旧知识之间的联系，

点评：本题分母不为整数，要运用“分数的基本性质”将分母化为整数，但要注意与去分母的区别.解一元一次方程的过程，实质上就是利用等式基本性質，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为l等步骤同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式，体现了化未知为已知的转化思想.

例5小明从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，则比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在小明打算在火车开车前10分钟到达火车站，求小明骑摩托车的速度.

点评：火车开出的时间和小明从家到火车站的路程不变，直接设未知数较难，应该转变角度，合理地间接设未知数以寻求新的解决途径.

转化思想是初中数学中分析问题和解决问题的基本思想.转化是指将复杂条件转化为简单条件，将生疏问题转化为熟悉问题，将抽象问题转化为具体问题，将未知条件转化为已知条件，将正向思维转化为逆向思维等.

四、数形结合思想

数形结合思想就是将抽象的数字、符号用直观的图形体现，或者通过精确的数量计算研究图形的形状大小，即代数问题几何化或几何问题代数化，

例6 甲、乙两站相距480 km.一列慢车以每小时90 km的速度从甲站开出，一列快车以每小时140 km的速度从乙站开出，慢车与快车同时出发，同向而行，经过多少小时两车相距600 km？

解析：设经过x小时两车相距600 km，则可将此题情境用线段图表示，如图1.

根据题意得90x+600=480+140x.

解得x=2.4.

答：经过2.4小时两车相距600 km.

点评：用一元一次方程解决行程问题，画线段图是常用的方法.

著名数学家华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事非，以形辅数，以数助形，能更快找到解题途径，

五、方程思想

方程思想就是利用方程来解决问题，是学习方程的目的和意义，方程思想是从问题的等量关系人手，运用代数式将条件转化为数学模型，然后通过解方程使问题获得解决，

例7某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售.春节期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装各一件，共付款182元，两种服装标价之和为210元.这两种服装的进价和标价各是多少元？

答：甲种服装的进价是50元，标价是70元;乙种服装的进价是100元，标价是140元.

点评：初中数学中的方程思想无处不在，最常见的就是列方程解应用题，其一般步骤如下.

（1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系，寻找等量关系.

（2）根据数量关系与解题需要设出未知数，根据等量关系建立方程.

（3）解方程.

（4）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意，并作答，

其中“寻找等量关系”最为关键.

方程法实现了由算术方法向代数方法的转化，是最基本的数量关系分析方法，有等式就可以有方程，有公式就可以有方程.方程思想是初中数学的核心内容，是打好数学基础的关键，是培养数学建模能力的重要手段.

练一练

1.解方程|x-2|=3.

2.如图2.矩形ABCD由六个颜色不同的正方形组成，若设中间最小的一个正方形边长为1.则矩形ABCD的面积为____ .

参考答案：

1.x=5或x=-l.2.143