教学探讨：解题教学中的过程设计方略

申晓华

[摘  要] 解析几何问题的教学需要重视过程引导、教学反思，帮助学生掌握解题思路的构建过程，积累相应的解题经验，形成类型问题的解题策略. 文章将以一道解析几何综合题为例，开展过程讲评、教学重点探讨，并探究教学微设计，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 解析几何;教学;定点;向量积;过程;思维

解析几何是高中数学的重难点内容，高考常以其为基础命制综合题考查学生对知识的掌握情况，运算和推理能力. 解析几何问题的求解过程需要用全面的、联系的观点来处理，整体把握问题、构建解题思路规范作答. 往往学生规避解题障碍，处理关键点的能力有所欠缺，因此在教学中需要教师注意解题引导，重视回顾反思. 下面以一道解析几何定点问题为例，进行解题教学探讨.

■解析几何综合题的讲评过程

1. 问题呈现

（2020届湖北高三教研卷）如图1所示，曲线C是由上半轴椭圆C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成. 已知曲线C1和C2的公共点为A，B，椭圆C1的离心率为■，回答下列问题：

（1）试求a和b的值;

（2）直线l过点B，与曲线C1和C2的交点分别为P，Q（两点均异于A，B），分析是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？如果存在，请求出直线l的方程;如果不存在，请说明理由.

2. 讲评过程

考点定位：问题主要考查圆锥曲线内容，涉及椭圆、抛物线、直线相交、圆等. 第一问为常规的解析式求解，第二问为解析几何定点问题.

思路及过程：

（1）该问可根据顶点定义求解，在C2的方程中，令y=0，即可确定b的值及A和B的坐标，联合离心率及参数关系即可求出a的值.

对于C2的方程y=-x2+1（y≤0），令y=0，可得x=±1，则b=1，点A和B的坐标分别为（-1，0）和（1，0）. 设C1的半焦距为c，由椭圆的离心率■=■，又a2-c2=b2=1，可解得a=2. 综上可知，a=2，b=1.

（2）该问分析以PQ为直径的圆是否恰好过点A，采用“假设→验证”的策略. 假设这样的圆过点A，则点A位于以PQ为直径的圆上，结合圆的直径所对的圆周角是直角可知AP⊥AQ，再根据垂直与向量积的关系可知■·■=0，后续联立椭圆与直线的方程，通过“舍而不求”求得直线PQ的斜率即可.

由（1）问可知，上半椭圆C1的方程为■+x2=1（y≥0）. 由题意可知，直线l不与x轴重合或垂直，可设其斜率为k，则表达式为y=k（x-1） （k≠0），与椭圆的方程联立■+x2=1，y=k（x-1），？摇整理可得（k2+4）x2-2k2x+k2-4=0 ①. 设点P的坐标为（xp，yp），由于点B是椭圆与直线l的一个交点，故x=1是方程①的一个根，由根与系数的关系可解得xp=■，则yp=■，所以点P的坐标为■，■. 联立直线l与抛物线的方程，同理可得点Q的坐标为（-k-1，-k2-2k），所以向量■=■（k，-4），■= -k（1，k+2）. 因为AP⊥AQ，则■·■=0，即■[k-4（k+2）]=0. 因为k≠0，所以k-4（k+2）=0，解得k=-■. 经验证，k=-■符合题意，所以直线l的方程为y= -■（x-1）.

■解析几何问题的教学重点

上述所呈现的是一道解析几何问题的讲评过程，在实际解题过程中需要及时提示学生问题中的解题障碍，引导学生处理问题难点. 例题第二问的探究过定点是核心之问，教学中要注意以下内容.

1. 障碍提示

第二问实则就是曲线与直线的相交问题，一般采用联立方程的方式解析，解题教学中需要对其中的三点障碍做出提示：①点P和点Q是关键点，需要分别联立直线l与椭圆、抛物线的方程来获得其坐标，常用方法是“设而不求”，但若不能注意到点B坐标的x值是对应联立方程的一个根，而直接利用韦达定理转化则会增大计算量;②该问是探究以PQ为直径的圆恰好过点A，解题教学需要提示学生从中转化出对应的几何条件AP⊥AQ;③后续需要串联起几何条件与函数解析式，故教学中需提示学生由■·■=0来体现条件AP⊥AQ，避免陷入推理误区，造成运算繁杂且重复.

2. 关键点处理

解析几何综合题的推理过程存在一定的难度，对于上述探究论证性问题，一般采用假设验证的策略，但在教学中还需引导学生分析问题的关键点，采用合理的方法处理. 第二问中主要有两个关键点需要处理，具体如下：①求解直线l的方程，但没有设定直线的斜率，教学中需要引导学生讨论直线的斜率，排除直线l与x轴重合或垂直的情形，联系点B的坐标直接设定为y=k（x-1）;②求解时提取了两线垂直，得到AP⊥AQ，而条件坐标化的关键是对其几何性质的转化，教学中可引入向量积为零，从而联系曲线相交所确定的关键点的坐标.

■基于解析几何問题的教学微设计

解析几何问题的综合性极强，以上述问题为例，需要处理其中的几大关键点，包括讨论直线l的斜率、转化两线垂直条件、变形为向量积等，但学生理解时依然存在一定的难度. 为帮助学生构建解析思维，有必要对问题进行拆解转化，采用教学微设计的方式，合理设问，引导学生思考，同时合理变形，提升学生的思维.

环节一：基础巩固，理解题意

问题：如图1所示，曲线C是由上半轴椭圆C1：■+x2=1（y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，已知曲线C1和C2的公共点为A，B.

设问：（1）试求上半轴椭圆C1的离心率;（2）试求点A，B的坐标.

教学引导：引导学生回顾椭圆的基本概念，强化离心率的定义，从椭圆方程和抛物线方程两大方向求解点A，B的坐标，点A，B既为椭圆的左、右顶点，也为抛物线与x轴的交点.

环节二：拾级而上，问题深入

在环节一的基础上，添加如下条件：过点B的直线l与曲线C相交于点P，Q（两点均异于A，B）.

设问：（1）讨论直线l的斜率是否存在;（2）若直线l的斜率为k，用含k的参数表示点P，Q的坐标.

教学引导：（1）直线l与曲线C有两个交点，且异于A，B，显然其斜率k≠0;若其斜率不存在，则直线l垂直于x轴，与曲线的交点不满足条件，显然其斜率必然存在，且不与x轴重合或垂直. （2）引导学生设定直线l：y=k（x-1） （k≠0），分别联立直线l与曲线C1，C2的方程，并整理出含参数k的关于x的一元二次方程，同时引导学生注意点B坐标的x值为对应联立方程的一个解，从而简化求出点P，Q的坐标.

环节三：深入探究，定点论证

在上述基础上进行定点问题探究论证，进行如下设问：分析以PQ长为直径的圆是否经过定点A，若经过请求出k的值.

教学引导：引导学生从中提取出AP⊥AQ，并结合向量转化为■·■=0，从而代入点的坐标构建相应的方程，求解并验证k的值.

环节四：拓展变式，思维提升

完成上述环节探究后，学生对解题过程有了初步的了解，基本掌握了相应的解法，则教学中有必要对其适度拓展，提升学生的思维.

变式问题：如图1所示，曲线C是由上半轴椭圆C■：■+x2=1（y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，已知曲线C1和C2的公共点为A，B. 直线l过点B，与曲线C1和C2的交点分别为P，Q（两点均异于A，B），试分析△APQ的面积为6时，直线l的方程.

教学引导：教学中引导学生构建△APQ的面积模型，利用x轴将其分割为△ABP和△ABQ两部分，构建模型S△APQ=S△ABP+S△ABQ=■OB·yP-yQ=6，从而将其转化为含有k的方程，完成求解.

■关于解题教学的进一步思考

1. 注重过程引导，基础强化巩固

解题教学实则就是过程教学，需要从读题出发，形成相应的解题思路，故教学中需要注重解题的读题审题、条件转化、运算推理、结果验证等过程，学生在理解分析过程后才能充分掌握考题的构建思路. 往往解析几何问题所涉及的知识内容较多，在过程教学中要适时引导学生回顾概念定义，从教材内容出发来探究问题，帮助学生巩固基础，强化知识应用;同时可以引导学生结合考题归纳常见考点，整合教材知识，形成基本备考策略.

2. 重视解后反思，拓展解题思维

解后反思是解題教学的重要环节，在该环节中需要引导学生反思问题特点、解题方法、突破关键、过程优化，从而形成类型问题的解题策略;同时适度变式问题，引导学生思考可能存在的变式方向，拓展学生的解题思维. 通过重新回顾考题，学生的思维将从基本的“表象解题”上升到深层的“思想解题”，从而从思想层面提升学生的解题能力. 解后反思教学环节可灵活设计，可借助教学微设计、一题多题、一题多变等形式开展，使学生的思维在多样的探究活动中获得升华.