探究定值结论，应用拓展反思

苏华春

[摘  要] 过抛物线交点的直线与抛物线之间存在一些常用结论，充分论证、探究应用、类比拓展，可充分挖掘结论的内在价值. 其中的定值结论具有广泛的应用性，文章对定值结论进行深入探究，结合实例详细剖析，并开展教学反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 抛物线;焦点;定值;类比;结论

抛物线与直线相交是高中数学重要的研究内容，其中存在一些较为特殊的规律和结论，如交点弦长结论、弦长中点坐标、坐标值乘积规律等，合理利用可以快速打开解题思路，提升解题效率，下面主要研究过抛物线焦点直线中的两个定值结论，并对其深入探讨.

■定值结论探讨

问题呈现：过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线与抛物线相交于点A和B，设点A（x■，y■），B（x■，y■），试证明：（1）x■x■=■;（2）y■y■=-p2.

证明思路：过焦点F的直线与坐标x轴的关系可分为垂直与不垂直两种，求证上述结论需要联立直线与抛物线的解析式，利用韦达定理进行转化论证.

方法过程：由抛物线的解析式可知焦点F的坐标为■，0.

①当AB不与坐标x轴垂直时，设其直线解析式为y=kx-■，联立直线与抛物线的解析式，y=kx-■，y2=2px，整理可得ky2-2py-kp2=0，由韦达定理可得y■y■= -p2，x■x■=■·■=■=■;

②当AB与坐标x轴垂直时，其解析式可表示为x=■，则y■=p，y■=-p，所以y■y■= -p2，x■x■=■.

综上可知，x■x■=■，y■y■=-p2成立.

方法另解：对于上述结论的证明还可以将直线解析式设为x=my+■，从而不需要讨论其斜率是否存在，可直接将其代入抛物线的解析式中，可得y2-2pmy-p2=0，所以y■y■=-p2，x■x■=■·■= ■=■.

定值结论总结：根据抛物线的焦点所在的坐标轴，可将其标准方程写为两种形式，从而可得出如下定值结论，实际解题时可根据抛物线的形式直接选定结论解题.

结论：过抛物线y2=2px（p>0）焦點F的直线与抛物线交于点A和B，如设交点A（x■，y■），B（x■，y■），则x■x■=■，y■y■=-p2.

结论：过抛物线x2=2py（p>0）焦点F的直线与抛物线交于点A和B，如设交点A（x■，y■），B（x■，y■），则y■y■=■，x■x■=-p2.

■定值结论的应用

过抛物线焦点直线的定值结论，实则就是由韦达定理所整理的参数与坐标值的乘积关系，在实际解题时可以规避联立方程，简化解题过程.

应用1：线段倒数之和定值论证

例1：已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线与其相交于点A（x■，y■），B（x■，y■），试证明■+■为定值.

证明：由抛物线的定义可知FA=x■+■，FB=x■+■，又知FA+FB=AB，所以x■+x■=AB-p. 由定值结论可知x■·x■=■，所以■+■=■=■=■，为常数，从而可证■+■为定值.

评析：上述在求证线段倒数之和为定值时，由定义出发，结合过抛物线焦点直线的定值结论直接将其转化为关于抛物线参数的代数问题，从而完成定值证明，实际上述所探究的定值问题也是抛物线与过焦点直线的一个常用定值结论.

应用2：线段乘积定值论证

例2：已知某抛物线的顶点在坐标的原点O处，焦点位于y轴的正半轴上，抛物线上点P（m，4）到抛物线准线的距离为5，试回答下列问题.

（1）求抛物线的方程;

（2）如图1所示，过抛物线焦点的直线l从左到右与抛物线和圆E：x2+（y-1）2=1相交于点A，C，D，B，试证明AC·BD为定值.

解析：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p>0），由题意可得4+■=5，所以p=2，即抛物线的方程为x2=4y.

（2）解法一：传统的联立直线与抛物线方程

设过抛物线焦点的直线方程为y=kx+1，与抛物线的交点为A（x■，y■），B（x■，y■），设x■<0，x■<0. 联立直线与抛物线方程y=kx+1，x2=4y，整理可得x2-4kx-4=0，由韦达定理可得x■+x■=4k，x■·x■=-4. 所以AE=-■·x■，BE=■·x■，则AC·BD=（AE？摇-1）·（BE？摇-1）=（-■·x■-1）·（■·x■-1）= -（1+k2）x■·x■+■（x■-x■）+1=1，即AC·BD为定值1.

解法二：利用定值结论直接化简

抛物线的焦点与圆心E相重合，设直线l的方程为y=kx+1，交点坐标A（x■，y■），B（x■，y■）.

由定值结论可得y■y■=■=1，由抛物线的定义可知AE=y■+1，BE=y■+1，所以AC·BD=（AE？摇-1）·（BE？摇-1）=y■y■=1，即AC·BD为定值1.

评析：上述第（2）问证明线段乘积为定值时分别采用了传统的方程联立和定值结论引用两种方法，显然解法二可以极大地简化运算过程，避免出错，提高解题效率.

■定值结论的类比拓展

抛物线与椭圆、双曲线中的结论具有一定的相关性，通过类比可以得到一些类似的定值结论，这些结论对于综合性问题的解答十分有利，以椭圆为例，可类比出以下两个常见定值结论.

类比结论1：已知椭圆方程为■+■=1（a>b>0），过焦点F的动直线与椭圆相交于点A和B，则■+■=■为定值;

类比结论2：过椭圆■+■=1（a>b>0）的对称轴上的定点A作直线，与椭圆相交于点M和N，设M和N两点处的椭圆的切线分别为直线l■和l■，点G为直线l■和l■的交点，则点G的轨迹为定直线.

例3：在平面坐标系xOy中，已知椭圆■+y2=1的右焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于点M和N，设点M和N处椭圆的切线分别为l■和l■，试求两切线交点G的轨迹方程.

解：由椭圆方程可知焦点F的坐标为（■，0），设过点F的直线为x=my+■，与椭圆交点M和N的坐标分别为（x■，y■）和（x■，y■），则两切线的方程分别为l■：■+y■y=1，l■：■+y■y=1，联立整理可得■x=y■-y■①，则x■y■-x■y■=（my■+■）y■-（my■+■）y1②，由于y■≠y■，将上述②式代入①式中，化简可得x=■，即直线l■和l■交点G的轨迹方程为x=■，该直线刚好为椭圆的右准线.

评析：上述例题实则是基于过椭圆交点直线而构建的综合型问题，问题解析以切线方程为突破口，通过联立方程，整合处理直接消去了方程中的参数，确定了交点的轨迹. 上述所求证的结论具有一般性，在实际解题时可以充分利用其特性来简化运算过程.

■结论探究的教学反思

欲善其事，先利其器，开展定值结论的探讨，其目标还是为了简化解析几何的计算过程，提升解题效率. 上述由过抛物线焦点直线的定值结论为探究点，设计了结论证明、实例应用、类比拓展等环节，可有效帮助学生深刻理解结论，掌握数学结论探究的方法，下面提出几点教学建议.

1. 重视教材例题，深入探究拓展

上述所探究的抛物线定值结论，实际上来源于教材的典型例题，是由例题所衍生的一般性结论. 课堂教学应重视教材例题，引导学生深入挖掘例题的结构特点、解法思路，特别是例题背后所隐含的规律. 教学中可适度对例题进行拓展，将其上升到一般性问题，引导学生探索是否可以其为基础总结出相应的结论. 另外，对例题的拓展探究要重视过程讲解，不能只追求最终的结论，而忽视了问题的解析证明过程. 結论固然重要，但问题的通性通法对于学习同等重要，不能过度重视结论总结而使学生丧失解析能力.

2. 深刻理解结论，形成解题策略

利用数学结论解题是提升效率的重要方式，如利用上述抛物线的定值结论可规避烦琐的联立方程，直接构建曲线特征参数与坐标之间的关联. 但引用结论需要建立在深刻理解的基础上，故教学探究过程中需要挖掘结论本质，包括结论的适用范围、适用方法、拓展方向等. 如上述抛物线的定值结论适用于过抛物线焦点的直线问题，如若所过点具有一般性，则无法直接引用. 总结结论的目标是提升解题效率，故教学中应注重讲解结论的引用方法，辨析关键点等，使学生真正掌握结论，形成相应的解题策略.