高中数学解题中化归思想的有效运用

吴阳锋

[摘  要] 思想是数学学习的精髓所在，随着学生核心素养的落地，我们在数学解题教学过程中，如何将思想与解题相融合，将真正落实素养与能力的并驾齐驱. 为此，笔者借此拙文，以解题中的化归思想为例，谈谈如何达成解题与思想的融合.

[关键词] 思想;解题;高中数学;素养

化归思想是转化与归结的简称，指的是将一个问题化难为易、化繁为简，化复杂为简单的过程，既是一种关键的解题思想，又是一种常规的思维策略，更是一种特殊的数学解题方式. 在高中数学教学中，随着知识难度与深度的提升，解题也是越来越困难，教师可指导学生在解题中有效运用化归思想，使其把具体问题作精细化处理，增强个人逻辑思维能力.

■多元问题少元化

在高中数学课程教学中，解题是一大难点，究其原因主要在于初、高中数学知识之间跨度较大，部分学生的思维与认知难以跟上正常的教学进度，导致他们在解题中困难重重. 其中高中生在处理数学问题时，通常会遇到含有多个未知数的问题，即多元化，他们通常不知所措，这时教师可以引领学生采用化归思想，将多元问题少元化，降低解题难度.

例1：如果a>0，x，y，z∈R，x+y+z=a，x2+y2+z2=a2，那么x，y，z的取值范围分别是什么？

解析：题目中存在三个变量x，y，z，给出的条件是两个方程，左边是有关x，y，z的对称式，把两个式子结合在一起能够消元. 例如，可以消去变量z，得到x2+y2+（a-x-y）2=a2，将一个三元方程转化成二元方程.

解答：教师提示学生把这个函数关系式中的变量x当成常量来看待，就会得到一个关于y的方程式，即y2+（x-a）y+（x2-ax）=0，这个方程存在实根，所以Δ=（x-a）2-4（x2-ax）≥0，化简后得到3x2-2ax-a2≤0;再把x看成变量，这个式子就成了一个关于x的不等式，解之得-■≤x≤a. 采用同样的方法可以得到-■≤y≤a，-■≤z≤a.

上述案例，学生通过对化归思想的有效运用，将“三元”顺利变化成“二元”，达到多元问题少元化、烦琐问题简易化的目的，使其灵活转变审题角度，最终解决掉难题.

■代数问题图形化

代数问题图形化其实就是数与形之间的转化，数学研究对象可分为数与形两大部分，两者密切联系、相互转化. 在高中数学教学中，方程与函数之间有着紧密联系，能够相互转化，函数和图像又密切相连，教师可以指导学生运用化归思想，将方程等代数转化成函数图像的方式进行研究，达到以数辅形、以形助数的目的，使其灵活运用数形结合思想解题.

例2：已知方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上存在两个不同的解，求实数a的取值范围.

解析：把cos2x变成sinx的形式，原方程就成为一个关于sinx与a两者之间的函数表达式.

解答：把原式变成2sin2x-4asinx-a+1=0，设sinx=t，当x∈[0，π]时，t∈[0，1]，原方程变成2t2-4at-a+1=0. 根据函数y=t与y=sinx的图像得知，（0，1）内的一个t值对应于（0，π）内的两个x值. 结合题意得关于t的方程f（t）=2t2-4at-a+1=0在（0，1）上有唯一解或t=0. 然后分类讨论：若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）<0，则■

在上述案例中，有效运用化归思想把一个方程问题变成函数问题，再利用函数图像来分析和解题，显得更为直观与方便，体现出了数形结合思想，让学生的思路变得更加清晰.

■一般问题特殊化

高中生在研究数学问题时，通常以特殊状态为切入点，探索知识的一般规律，再结合一般规律研究特殊情况，由于特殊问题显得更为直观与简单，有利于他们理解与接受. 解答高中数学题目比较注重灵活性，假如一直采用循规蹈矩的方法分析和运算，将会耗费更多精力与时间，教师可指导学生运用化归思想，将一般问题变得特殊化，提高他们的解题效率.

例3：已知a■=n-4，n≤6;a■=2n-5，n≥7，求所有的正整数m让等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立.

解答：教师提示学生列出数列{a■}的前几项：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，…. 他们通过观察轻松发现从第5项开始，连续3项的和同积相比，和均会小很多，那么让等式a■+a■+a■=a■·a■·a■成立的m值只能是整数1，2，3，4，经过计算得到m=1或m=3. 接下来需证明当m≥5时，a■+a■+a■

针对上述案例，通过有效运用化歸思想分析题目，即对一般问题的特殊化处理，使学生选择一个恰当角度通过一般情况研究问题的特殊情况，让他们获得事半功倍的学习效果.

■抽象问题具体化

大部分高中数学问题都比较抽象，对学生的思维能力与认知水平要求较高，他们难以透彻理解题目意思，不利于接下来的正常解题，还容易出错. 对此，高中数学教师在日常解题教学中可以引导学生有效运用化归思想，将抽象问题处理得具体化和直观化，降低理解难度，使学生快速掌握题目中的条件及相互关系，帮助他们优化解题思路，提高正确率.

例4：已知定义域在R上的函数f（x）对任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），当x>0时，f（x）>0，那么函数f（x）在区间[a，b]上有（  ）

A. 最小值f（a）

B. 最大值f（a）

C. 最大值f■

D. 最小值f（b）

解析：不少学生面对这一抽象的函数问题时往往无法解题，其实本道题目主要考查的知识点是函数的单调性. 由于题型是选择题，无需详细的求解过程，可以使用具体的函数来快速解题，巧妙规避使用定义法求证抽象函数单调性的烦琐过程，即将抽象问题具体化.

解答：将满足条件的函数模型设成正比例函数f（x）=kx（k>0），由此可见该函数在区间[a，b]上呈单调递增性，所以存在最小值f（a），故正确答案是A.

如此，学生在解决这类抽象性极强的函数类问题时，假如是选择题，可以结合函数的某些性质猜测出该函数的具体模型，再结合具体模型的性质处理题目，有效提高他们的解题速度.

■正向思维反向化

在高中数学教学中，不少题目都较为复杂，运用化归思想的主要目的就是把复杂问题变得简单化，从整体层面降低解题难度. 不过部分数学题目运用正向思维很难解决，这时可以考虑从反向思维出发，找到突破口. 高中数学教师应指导学生运用化归思想，使其根据实际情况转化思维方式，通过反向思维寻找解题思路，辅助他们顺利解题，增强学习自信.

例5：已知a■，a■，a■，a■都是正数，而且它们是一组公差是d的等差数列，其中d≠0，问：是否存在a■和d，可以让a■，a■，a■，a■构成等比数列？

解析：学生在分析这道题目时，发现信息较少，一时之间无从下手，假如他们循规蹈矩地从正向思维展开思考更是没有办法，很难顺利找到解题的切入点. 此时，教师可以提醒学生采用化归思想，转化思维角度，从反向思维来分析：先假设存在一组a■和d能够让a■，a■，a■，a■构成等比数列，再反过来推理和求证，研究这组数是否具有等比数列的性质. 他们通过验证能轻松发现假设与题设存在着矛盾点，即假设不成立. 如果假设不成立的话，那么结论将会被推翻，这就表明这种情况不存在，即没有一组a■和d会让a■，a■，a■，a■成为等比数列.

对于上述案例，教师提示学生运用化归思想转变思考角度，由常规的正向思维变化成反向思维，把復杂问题简单化，促使他们在后续解题中遇到瓶颈时学会从反向视角切入.

在高中数学解题教学中，教师需深刻意识到化归思想的重要性和价值，指导学生依据具体题目灵活自如地运用化归思想分析和处理题目，使其掌握更多的解题窍门与技巧，对数学不再存在惧怕心理，逐步提高他们的解题能力与思维水平.