垂径定理的应用研究

胡朝炳

[摘 要]探讨垂径定理在盾构隧道、噪音影响、工厂大门、奥运圣火盆中的应用，以提高学生运用垂径定理解决实际应用问题的能力.

[关键词]初中数学;垂径定理;实际应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）29-0031-02

学生已学习了轴对称图形的性质及等腰三角形、全等三角形等知识，在《圆》一章里又了解了弧、弦、等弧、等圆等概念，在此基础上，学习了圆的第一个重要的定理——垂径定理.垂径定理是指如果一条直线经过圆心，且垂直于弦时，那么这条直线当然就平分弦.这一定理在圆的计算与证明里发挥了不可替代的作用，它的应用重在垂直与平分两个方面.实际上，如果一条直线符合在以下五个条件中的两个，就可以推得其他三个，这五个条件分别是：（1）圆心在直线上;（2）直线与弦互相垂直;（3）这条直线等分弦;（4）这条直线平分弦所对的一条优弧;（5）这条直线平分弦所对的一条劣弧.根据上述结论，在实际生活中，可以求路面的宽;在噪音影响中求受影响的时间;判断卡车能否通过工厂的大门;等等.

一、垂径定理在盾构隧道中的应用

盾构隧道的横断面是一个圆，这个圆有三层，最上面一层是排烟通道，中间一层是行车的通道，最下面的一层为服务区.如果分别已知这三层的高度，这样这三层的和就是直径，从而求得这个圆的半径，根据垂径定理和勾股定理可求得一条弦长，即路面的宽度.

[例1]如图1，是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m，顶棚到路面的距离是6.4 m，点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.（精确到0.1 m）

解析：连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD.

评注：在解决圆的问题时，圆中有垂直于弦的直径，一方面要考虑使用垂径定理，先求一半弦长，再求整条弦长;另一方面构造直角三角形使用勾股定理，这个直角三角形的三边分别是半径、半弦和弦心距.

二、垂径定理在噪音影响中的应用

火车在铁路上行驶，它对周围环境会产生噪音影响.因为火车在直线上行驶，当火车接近某一地方时，这个地方就开始受到影响，一段时间后，这个地方会结束受影响.通过勾股定理及垂径定理可以算出火车行驶的路程.根据火车行驶的速度，可以求出火车行驶的时间，即这个地方受影响的时间.

[例2]如图3，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，[∠QON=30°]，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由.

解析：过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失.

评注：本题中A處是否受到噪音影响，要看距离点A最近一个点是否受到影响，当距离点A最近的一个点受到影响，那么A处就受到影响，然后再看受影响的路程，由受影响的路程与火车行驶的速度，即可算出受影响的时间.

三、垂径定理在工厂大门中的应用

某些工厂的大门会设计成这样的形状，即上部分为半圆，下部分是一个矩形，虽然半圆的半径处处相等，但是半圆上每一点到直径的距离并不相等，而是从中间向两边逐渐减小，当一辆卡车要通过这样的大门，它的宽度决定了它能通过的高度，在计算能通过的高度时需要应用垂径定理及勾股定理去计算.

[例3]某工厂的大门如图5所示，其中下部分是矩形，上部分是一个半圆，一辆装满货物的卡车要通过此门.已知卡车高为2.5 m，车宽为1.6 m，你认为卡车能通过工厂的大门吗？请说明理由.

解析：如图6，因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度.EF的长度等于BC的长度.如果EG的长度大于2.5 m货车可以通过，否则不能通过.

评注：本题将卡车作为一个矩形，放在图形的最中间位置时，算出的高度才是宽为1.6米时能通过的最大高度，因为在半圆中越到中间，半圆上一点到直径的距离越大.

四、垂径定理在奥运圣火盆中的应用

2008年的北京奥运会实现了中国人多年以来的梦想，中国制作了圣火盆用来点燃奥运圣火，圣火盆放在一个支架上，圣火盆的高、盆体的深度、立柱的高及盆内的一条弦长都可以测量出来.如何根据这些数据得到圣火盆的直径呢？也需要利用勾股定理算出半弦，再根据垂径定理算出弦长.

[例4]2008年北京奥运会开幕式上奇特的点火式为世界所震惊.（图7为奥运会中所用的圣火盆），其中圣火盆高120 cm，盆体深20 cm，立柱高110 cm，CD=60 cm.试求盆口圆的直径AB.

解析：这道题虽然数据复杂，但是借助图形，在Rt△OFD中运用勾股定理求出OF的值.再次运用勾股定理在Rt△OPB中求出PB的值，最后求得AB的值.

评注：本题的特殊之处在于，由弓形中的一条弦长求另一条弦长，求中间量必须求弓形所在圆的半径，圆的半径是一个关键的中间量.本题的数据较多，应两个数据进行对照看能求出什么量，继而再求出什么量，要逐步进行.

垂径定理的应用还表现在求坐标平面内点的坐标，利用圆的对称思想在圆中求线段和最小值等.解答时，一方面要利用半弦、半径和弦心距打造特殊的三角形——直角三角形，在这三个量中，任意知道其中的两个，利用勾股定理可以求出第三个.另一方面要充分利用数形结合思想、转化思想、建模思想，将实际问题转化为数学问题，将圆的问题转化为三角形问题加以解决.

（责任编辑 黄桂坚）