反散射中Stekloff特征值问题的一个性质

杨一都，闭 海，张 宇

(贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言

考虑下列反散射中的Stekloff特征值问题:

(1)

问题(1)是一个特征值参数出现在边界上的非自共轭特征值问题，且不满足一致椭圆条件，不能被二阶椭圆特征值问题的标准理论所覆盖。在2016年，Cakoni等[1]研究了该问题的数学性质，证明了它的特征值是Neumann-to-Dirichlet算子(紧算子)的特征值，并提出了它的变分公式和协调有限元逼近。在文献[1]工作的基础上，刘杰等[2]证明了有限元特征值的误差估计，闭海等[3]研究了二网格离散和局部有限元方案，张宇等[4]研究了多网格校正方案与自适应有限元法，杨一都等[5]研究非协调有限元逼近。

本文进一步研究问题(1)的数学性质。我们将证明相应(1)的共轭Stekloff特征值问题的i阶广义共轭特征向量是Stekloff特征值问题(1)的i阶广义特征向量的共轭。基于这一性质，我们改进现有文献中Stekloff特征值问题二网格离散方案[3]和多网格离散方案[4]。

1 Stekloff特征值问题及其共轭

并定义连续半双线性型

a(u,v):=(▽u,▽v)-k2(nu,v), ∀u,v∈H1(Ω)。

为叙述简单起见，记λ=-μ。

(1)的变分公式是[1]：求(λ,u)∈C×H1(Ω),u≠0，使得

a(u,v)=λ〈u,v〉, ∀v∈H1(Ω)。

(2)

设{πh}是Ω的形状正规网格族[7]，h是πh的网格直径，Vh⊂H1(Ω)是定义在πh上的分片m(m≥1)次多项式空间。

问题(1)的有限元近似是：求(λh,uh)∈C×Vh，uh≠0，使得

a(uh,vh)=λh〈uh,vh〉, ∀vh∈Vh。

(3)

与原特征值问题(2)或(1)相应的共轭特征值问题是：求(λ*,u*)∈C×H1(Ω)，u*≠0，使得

(4)

(5)

对特征值问题(2)相应的边值问题定义解算子A:H1(Ω) →H1(Ω)满足

a(Af,v)=〈f,v〉, ∀v∈H1(Ω)。

(6)

由(2)和(6)得

a(u,v)=a(λAu,v),∀v∈H1(Ω)

则问题(2)有等价算子形式：

Au=λ-1u。

(7)

对问题(3)相应的方程定义解算子Ah:H1(Ω)→Vh满足

a(Ahf,v)=〈f,v〉, ∀v∈Vh。

(8)

由(3)和(8)得

a(uh,v)=a(λhAhuh,v),∀v∈Vh，

则问题(3)有等价的算子形式：

(9)

称使得N((λ-1-A)α)=N((λ-1-A)α+1)的最小正整数α为λ-1-A的陡度，这里N表示零空间。称q=dimN((λ-1-A)α)为λ的代数重数。

在文献[7]中683页及693页讨论了广义特征向量的阶：称使得下式成立的最小整数i为算子A的相应于λ的广义特征向量u的阶：

(A-λ-1)iu=0。

(10)

显然，1阶广义特征向量就是特征向量。ui是i(i>1)阶广义特征向量的充分必要条件是存在i-1阶广义特征向量ui-1满足

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω)。

(11)

为方便阅读，下面给出证明：如果存在i-1阶广义特征向量ui-1使得(11)成立，则根据A的定义，有

a(ui,v)=λa(Aui,v)+λa(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω),

于是

(λ-1-A)ui=ui-1,

因此，就有

(λ-1-A)iui=(λ-1-A)i-1ui-1=0，

即(10)成立。

反之，若ui是i阶广义特征向量，则(λ-1-A)ui是i-1阶广义特征向量，表示为

(λ-1-A)ui=ui-1。

据此我们推出

a((λ-1-A)ui,v)=a(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω),

进而

a(ui,v)=λa(Aui,v)+λa(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω),

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω)

即(11)成立。

称使得下式成立的最小正整数i为算子Ah的相应于λh的广义特征向量uh的阶：

(12)

(13)

A*的相应于λ*的i阶广义特征向量u*i满足

(14)

(15)

证明因为(λ,u)是(2)的第j个特征对，所以

a(u,v)=λ〈u,v〉, ∀v∈H1(Ω)。

(16)

根据a(·,·)和内积的定义可得

将上述两个式子代入(16)，得到

由于(λh,uh)是(3)的第j个特征对，所以

a(uh,v)=λh〈uh,v〉, ∀v∈Vh。

(17)

根据a(·,·)和内积的定义可得

将上述两个式子代入(17)，得

□

因为ui∈M(λ)是i阶广义特征向量，所以

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ∀v∈H1(Ω)。

(18)

根据a(·,·)和内积的定义可得

a(ui,v)=(▽ui,▽v)-k2(nui,v)

将上述3个式子代入(18)，得

(19)

定理2表明

对一般的非自共轭特征值问题，在构造多网格离散、自适应方法等高效计算格式时，通常需要计算原特征值问题及其共轭问题。对问题(1)，基于定理1和2，我们只需解原特征值问题，从而减少了计算量，进一步提高了计算方法的效率。

2 应用

特征值问题的二网格和多网格离散方法是一个备受关注的重要课题(见文献[9-14]等)。对于Stekloff特征值问题(1)，闭海等提出了二网格离散[3]，张宇等提出了多网格校正方案[4]。基于定理1和定理2，我们可以对文献[3,4]中建立的的计算方法进行改进。

2.1 Stekloff特征值问题的二网格离散

许进超[9]对特征值问题建立了基于反迭代的二网格方案。闭海等[3]成功地将其应用到Stekloff特征值问题(1)。基于定理1和定理2，本小节对文献[3]中二网格方案进行改进，提出求解Stekloff特征值问题(1)的两种新的二网格离散。

二网格方案Ⅰ

步1 在粗网格πH上解(3)：求(λH,uH)∈C×VH,uH≠0使得

a(uH,v)=λH〈uH,v〉, ∀v∈VH。

步2 在细网格πh(h

a(uh,v)=λH〈uH,v〉, ∀v∈Vh;

步3计算广义Rayleigh商

二网格方案II

步1 与方案I的步1相同。

步2 在细网格πh(h

(▽uh,▽v)+(uh,v)=λH〈uH,v〉+((k2n+1)uH,v), ∀v∈Vh;

步3 计算广义Rayleigh商

文献[3]中方案1和2需要解原特征值问题和共轭特征值问题，而本文中二网格方案I和II只需要求解原特征值问题，且明显地，当λ是单特征时，文献[3] 中定理4.1和4.2仍然成立。

2.2 Stekloff特征值问题的多网格校正方案

基于多水平校正，林群和谢和虎[11]建立了一种新型多网格方案，并且它被张宇等[4]成功应用到Stekloff特征值问题(1)。基于定理1和定理2，本节对文献[4]中多网格校正方案进行改进。

首先，给定初始网格πh1=πH。通过正规方法对πh1加密得到三角形网格序列{πhl}，并且

这里ξ是一个整数。

基于该网格序列，定义如下线性协调有限元空间(m=1)：

VH=Vh1⊂Vh2⊂…⊂Vhn⊂H1(Ω)。

定义

一步校正

步2 定义新的有限元空间：

将上述两步表示为

现在，我们使用上述校正步建立(1)的多网格校正方案。

多网格校正方案

步1 对j=k,…,k+q-1，在粗网格πH上解(3)：

求(λj,H,uj,H)∈C×VH使得‖uj,H‖0,∂Ω=1且

a(uj,H,v)=λj,H〈uj,H,v〉, ∀v∈VH,

步2 对l=1,2,…,n-1，

结束。

文献[4]中方案4.1需解原特征值问题及共轭特征值问题，而本文中多网格校正方案仅需要解原特征值问题，且易知文献[4]中定理4.1仍然成立。