数学转化思想在解一元二次方程中的应用

陈培明

【摘要】通常在学生解决一元二次方程的时候必须要求其重点分析方程的具体特征，然后灵活选择解决方式。在其所有解决方式之中，公式法是通用方式，配方法是公式法的基础，最直接的方式有开平方，而因式降次则是解决一些特殊方程最简便的方法，对于这些方式来说都有一个共性，即转化思想。基于此，本文就将重点对一元二次方程解决过程中转化思想的应用策略进行分析。

【关键词】转化思想  一元二次方程  应用策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）52-0051-02

引言

在数学学科当中蕴含有很多思想方法，其中转化思想最为典型。从字面意思理解就是将未知问题转化成为已有知识范围中问题的一类思想方式。它在不断转化之下能够将原先复杂的、不规范的和不熟悉的内容转化成为熟悉的、规范的和简单的问题。在教学过程中教师需要不断训练和培养学生的转化思想，以此提升其思维能力及变通能力，实现触类旁通。在解决一元二次方程时重点就是先进行降次，将其转化成学过的一元一次方程然后进行解答。降次本质上就是转化思想，以下就将重点对其应用策略进行分析。

一、转化思想概述

转化一般也被称为化归，在数学解题过程中比较常用，其思想实质就是在简单的、已有的、基本的和具体的知识基础上，将未知转化成已知，将复杂的简单化，将非常规的常规化，将抽象的具体化，由此顺利解决各种问题。在初中数学中该思想方法的应用比较广泛，是解决数学问题最重要的思想之一，包含了数学当中特有的数、形、式的转化。在数学解题过程当中运用该思想必须要解决三项问题，即为什么要进行转化、需要将其转化成什么、以及怎样进行转化。

1.数和数之间的转化

对于四则运算来说，其之间是存在很大联系的，其中减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，当加数相等的时候，可以直接将加法转换为乘法。因此在解决数学问题的时候只要能够把握住这一基本转化思想，就能够使很多数学问题迎刃而解。

2.形和形之间的转化

在初中阶段培养学生的空间观念是非常重要的一项内容，但这些对于学生而言，往往具有很大难度。因此教师在教学的时候通常还会将要学习的图形转化成学生已经掌握的图形，从而促进学生理解和记忆，并找到正确的解题方法。

3.数和形之间的转化

在解决数学问题的过程中，直接将数转化成图形，能够强化题目的直观感，进而减少计算过程和计算难度。数与形之间的转化，能够把原先抽象的数学语言和直观的图形相互结合在一起，由此提升学生思维的直观性、形象性，从而使问题化难为易。

二、转化思想在二元一次方程解题中的应用

对于初中生而言，一元二次方程是其学习过程中相对比较棘手的模块之一，所以教师在教学过程中将转化思维有效融入进去，能够更好地帮助学生进行理解和记忆。虽然传统求根通式是万能的，但是却会给学生带来巨大的计算量，不但需要消耗大量的时间，还会增加学生的压力以及出错的概率，所以教师给学生传授转化思想极为必要。因此以下就将重点分析当前在一元二次方程解题当中比较常见的几种转化思想。

（一）因式分解

通常因式分解对于学生的要求都比较高，重点考查学生的技巧及观察能力。在因式分解之中就重点用到了降次思想，实现以整划归。其具体步骤有四项：第一，先将等式右边的所有项都移到左边;第二，把左边化解成十字相乘的形式;第三，确保每一个分解出来的因式都是0;第四，将两个式子之中的x解出来[1]。在因式分解之中提公因式法相对比较简单，也就是直接开平方，这是一种最直接的方式，其本质就是把一元二次方程直接转化成两个一元一次方程。例如：2x2+3x=0，就可以分解成为x（2x+3）=0，得到x=0或2x+3=0，最后就能够得到方程的解为0和。

在其因式分解之中，最难的就是十字相乘法，它主要就是运用了转化思想。十字相乘法就是运用十字交叉线进行分解：第一步，把常数系数及二次项系数都分解成两个数的乘积;第二步，把四个数并排排列，使其相互交叉相乘;第三步，将相乘的数都加起來看其最终结果是否是一次项系数，如果不是就要把排列方法转换成另外两个数的乘积再继续进行计算;但是是的话就可以直接将式子按照横的方式去书写，最终将答案求出来[2]。

（二）开平方与配方法

在具体教学过程中还可以要求学生运用类比的方式将新知识和旧知识之间的联系找出来，以此在这样的类比过程中尽快掌握新的知识内容。配方法的主要原理就是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2，该方式的主要步骤有五项：第一步，把原方程转化成一般形式;第二步;给式子两边去除二次项系数，从而使其变成1，然后再把常数项转移到方程的右边;第三步，给方程两边加上一次项系数一半的平方;第四步，进行配方，式子的右边为常数，式子的左边是完全平方式;第五步，开方进行求解，并留意常数项的正负情况[3]。

一般这种方式的适用范围主要为：倘若能够把式子左边在进行变形之后转化成平方的形式，右边是一个比0大的常数，那么这时候就可以运用这种方式进行解题。主要类型有三种：①x2=a（a≥0）②（x+m）2=n（n≥0）③（mx+n）2=c（m≠0且c≥0）。这些都是运用开方法去解答题目的通式，倘若能够直接把原式转化成这几种，就可以有效提升解题效率。例如（x-5）2      -36=0，将其复原成一般式就是x2-10x-11=0，这样一来就可以直接看到一次项系数及二次项系数能够变成平方的形式，通常二次项系数是1的都能够运用开方的方式将其解答。当二次项系数不是1，例如2x2-10x+25=0，就可以直接变形成（x-5）2=0，这样就要求一次项系数及常数项。从该方式的运用之中能够看出来，一方面它把方程形式直接开平方成所要求的形式，也就是对式子进行了转化;另一方面，它也实现了从未知到已知的转化。这种方式要求学生必须要准确看出来配方的形式，通过转化直接将二次方程转化成一次方程，对于提升计算能力和概括能力具有很大的优势。

（三）公式法

这种方式本质上就是从配方法当中得出的一种能够适用所有一元二次方程的通用解法。这主要是因为解决一元二次方程其基本思路就是从复杂到简单的转化，只要可以确定出方程的各项系数就能够运用方式将方程的根求出来。因此从这一点上也能够看出来公式法的通用性。这种方式的出现能够解决以上几种方式存在的缺陷：第一，系数比较大，使用配方运算相对来说比较烦琐;第二，方程并无实数根要花费大量的时间去进行配方[4]。公式法的实质与配方法是一样的，即将一元二次方程降次成一个一元一次方程，然后再把答案算出来。运用公式法的主要目的就是为了直接缩减配方过程，将固定的公式套入进去。这一方式也重点体现出了转化思想。

结束语

总的来说，对于初中生而言，一元二次方程是极难攻克的一项问题。从以上分析之中能够发现，要想准确解决该问题就必须要将其转化成一个比较容易的问题或者是已经解决的问题，也就是必须要把新内容转化成旧内容，将未知转化成已知。因此教师在教学过程中就需要重点培养学生的转化思想，进一步提升数学素养，以此给后续的数学学习打下坚实的基础。

参考文献：

[1]朱文泽.例谈数学核心素养如何落实在课堂——以“一元二次方程的解法”为例[J].文理导航（中旬）， 2019（3）.

[2]陈兆宏.巧用数学思想方法解一道二元一次方程组试题[J]. 中学数学教学参考， 2018（18）.

[3]覃秋红.化归思想在数学解题中的应用[A].2018年“提升课堂教学有效性的途径研究”研讨会[C]. 2018.

[4]渠英.解决一元二次方程问题时常用的四种数学思想[J]. 初中生世界， 2014（39）：22-24.