为什么点那么难“描”

阮萍扬

中图分类号：G633.6     文献标识码：B    文章編号：1672-1578（2020）04-0178-01

建系法是解决高中理科立体几何问题的一种有效方法，模式化也比较明显，在完成建系和描点后，套入公式一般都可以解决问题，这类问题有较为明显的“套路解法”，照理学生的得分率要很高，但实践过程中笔者却发现情况截然相反。究其原因，其中一个主要的问题是学生不会描点，为什么点那么难描？可能是一些描点的“技巧”没有掌握好。

1.选择合适的空间直角坐标系

例题1：如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=45°，PD=2，若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值。

解析：很多同学发现底面ABCD是菱形，对角线互相平分且垂直，因此将原点设在菱形对角线的交点O处，F是PB的中点，如图2所示，建立空间直角坐标系。这个建系方法表面上看非常合理，却存在致命缺陷，因为ABCD是菱形且∠BAD=45°导致求底面四个点的坐标需要用sin45°2或sin135°2来计算。系是好建了，但点却不好描。这就给我们一个提醒，直角坐标系并不是随意去建立的，要选择一个合理的坐标系才能方便的描绘出所有点坐标。此题，应过点D做DE⊥AB，以D为原点，DA和DA分别为x和y轴建立空间直角坐标系，如图3所示，这样一来，点的描绘就容易多了，即：B（1-22，22），C（-22，22）如图4。因此，点不好描时，考虑下，是不是换个角度去建系。

2.从空间向量角度进行描点

例题2：（2014课标1）如图5，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C。（1）证明：AC=AB1;（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解析：如图6所示建立空间直角坐标系，不妨设BC=2，这里最不好求的点是A1的坐标，它的坐标要怎么求？一般的处理方法是将A1投影到xoy平面求解，这当然可以。不过，我们也可以直接利用空间向量的一些公式求解。比如：AA1=BB1或B1A1=BA等等，就可以直接求出点A1的坐标。速度准确，并且减少了很多平面几何的运算和思考。同样的情况还有下面这个例题。

例题3：（2017课标2）如图7，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值。

解析：取AD中点O，如图8建立空间直角坐标系，不妨设PA=2，这里最难的是点M坐标如何假设？有两个方案解决：一是利用向量的共线关系PM=tPC，由PC=（0，1，-3）

PM=（xM，yM，zM-3）

，易得xM=0，yM=t，zM=3-3t，即M=（0，t，3-3t）;二是利用空间直线方程公式，可知直线PC的方程是：x=0

y1=z-3-3，点M在直线PC上，所以可以假设M=（0，t，3-3t）。得到了点M的坐标，后面的求解就容易很多。值得总结归纳的是，若点M是落在面PDC上时，我们会利用“基底”来假设点M的坐标，例如，CM=αCD+βCP，当然，基底的选择还可以是DC和DP等，选择是多种的。我们在平面直角坐标系，描绘点坐标的时候，会自然的用到中点公式，会注意到定比分点公式，也会用平行垂直等等结论来描点。同样的道理，到了空间直角坐标系，我们也是有很多公式的，可以用向量，可以用共线，垂直平行，甚至可以用到空间直线和平面公式等等来描点坐标。所以，描点遇到困难时候，可以考虑，是否有空间向量的结论可以利用。

3.题目中核心信息遗漏

例题4：（2018课标1）如图9，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD;（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值。

解析：过点P做EF的垂线，交EF于点O，即PO⊥面ABCD。如图10建立空间直角坐标系，设AB=2，瞬间发现，所有的坐标都很难求。这是因为有一个核心信息遗漏了！遗漏了什么信息呢？遗漏了PF⊥面PED，就有PF⊥PE！这里△EPF是直角三角形！有了这个信息，那么描点就非常容易了！这样的命题手法非常高明，对学生来说是一个挑战，如果没有对信息进行再挖掘，仅仅通过表象信息去解决问题，往往无功而返耗时耗力。这给了我们一个提示，描点遇到障碍时，认真细读题目给出的信息，对信息进行二次挖掘，把隐藏的结论揭示出来，问题便迎刃而解。

总结

建系、描点、套公式，这是立体几何建系法的三步骤。描点成为最关键的一步。除了传统的将点投影到坐标平面或投影到坐标轴外，其实，我们还有一些“小技巧”、“补充结论”和“解题经验”来帮助建系和描点。