半素拟环Lie理想上的导子的研究

钟佩伶

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

0 引言

Bell和Kappe[1]证明了，若d为R上的导子，在R的非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.在2003年，Asma和 Shakir[2]将Bell和Kappe[1]的结果推广到2-扭自由素环的Lie理想上，证明了：如果2-扭自由素环R上的导子d在R的非零平方封闭Lie理想U上作为同态或反同态，则有d=0或U⊆Z(R).在2007年Oukhtite[3]等人将Asma和Shakir[2]的结果推广到σ-素环上，证明了：如果2-扭自由σ-素环R上的导子d(d与σ是可交换的)在R的非零平方封闭σ-Lie理想U上作为同态或反同态，则有d=0或U⊆Z(R). 此定理一出，对众多学者产生了深远的影响，特别是在环的一些特殊理想上作为同态和反同态的导子的一些性质，更是学者们热议的课题.他们将此定理进行了推广[4-11]，为研究导子在环上的一些性质奠定了基础.由于半素环比素环更具一般性，本文将Asma和 Shakir[2]的部分结果推广到半素拟环上，得到如下研究结果.

1 预备知识

设R为结合环.对任意的a,b∈R,若由aRb=0,必有a=0或b=0，则称R为素环.如果环R为2-扭自由的，则对任意的a∈R，若2a=0，则必有a=0.设R是环,d:R→R是加性映射.若对任意的x,y∈R,满足：d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d是R上的导子.若映射σ:R→R满足：

1)σ(x)⊆R,x∈R;

2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R;

3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R,则称σ为R的自同构．设R是结合环,g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构. 若对任意的x,y∈R，满足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) ，则称g为R上的(θ,φ)-导子. 设R是环，I⊂R是R的可加子群，若对任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，则称I为R的理想.∀x,y,z∈R，有

[x,y]=xy-yx； [xy,z]=x[y,z]+[x,z]y； [x,yz]=y[x,z]+[x,y]z.

设N是非空集合，若满足:

(i)(N,+)是一个群;

(ii)(N,·)是一个子群;

(iii)(n1+n2)·n3=n1·n3+n2·n3,∀n1,n2,n3∈N,则称N为拟环.设N是拟环.若xNy=0，x,y∈N,则称N为素拟环. 设N是拟环.若xNx=0,x∈N,则称N为半素拟环.

2 主要结果

引理1[4]设R是中心为Z(R)的2-扭自由素环,U⊄Z(R)是R上的非零Lie理想.若对任意的a,b∈R,满足aUb=0,则a=0或b=0．

将引理1推广到半素拟环上得到如下定理.

定理1设R是中心为Z(R)的2-扭自由半素拟环,U⊄Z(R)是R上的非零Lie理想.若对任意的a∈R,满足aUa=0,则a=0．

证明 由已知,可得

aua=o， ∀a∈R,∀u∈U.

(1)

在(1)中,用[u,r]替换u,可得a[u,r]a=o，∀a,r∈R,∀u∈U.

又可得a(ur-ru)a=o，∀a,r∈R,∀u∈U.

又可得aura-arua=o，∀a,r∈R,∀u∈U.

用ra来替换r，可得

auraa-araua=o,∀a,r∈R,∀u∈U.

(2)

由(1)和(2)可得auraa=o，∀a,r∈R,∀u∈U.

用u-1ra-1来替换r，可得aRa=o，∀a∈R.

由R是半素拟环,可得a=o.

证毕.

引理2[7]设R是中心为Z(R)的2-扭自由素环,U⊄Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的导子,且d(U)=0，则d=0.

将引理2推广到半素拟环上得到如下定理.

定理2设R是中心为Z(R)的2-扭自由半素拟环,U⊄Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的导子,且d(U)=0，则d=0.

证明 由已知可得

d(u)=0 ,∀u∈U.

(3)

用[u,r]来替换u，可得d([u,r])=0 ,∀u∈U,∀r∈R.

又可得d(ur-ru)=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得d(ur)-d(ru)=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得d(u)r+rd(u)-d(r)u-rd(u)=0,∀u∈U,∀r∈R.

由(3)可得ud(r)-d(r)u=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得

[u,d(r)]=0,∀u∈U,∀r∈R.

(4)

在(4)中用r2来替换r，可得[u,d(r)r+rd(r)]=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得[u,d(r)r]+[u,rd(r)]=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得[u,d(r)]r+d(r)[u,r]+[u,r]d(r)+r[u,d(r)]=0,∀u∈U,∀r∈R.

由(4)可得

d(r)[u,r]+[u,r]d(r)=0,∀u∈U,∀r∈R.

(5)

又由(4)可知 [[u,r],d(r)]=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得[u,r]d(r)-d(r)[u,r]=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得

[u,r]d(r)=d(r)[u,r],∀u∈U,∀r∈R.

(6)

又由(5)可得(6)可得2[u,r]d(r)=0,∀u∈U,∀r∈R.

由R是2-扭自由的，可得 [u,r]d(r)=0,∀u∈U,∀r∈R.

又可得

Ud(r)=0,∀r∈R.

(7)

将(7)右乘d(r)可得d(r)Ud(r)=0,∀r∈R.

由定理1可得d(r)=o.

故d=0.

证毕.

3 结语

本文研究了设R是中心为Z(R)的2-扭自由半素拟环,U⊄Z(R)是R上的非零Lie理想.若d是R上的导子,且d(U)=0，则d=0.把素环的相关结果推广到了半素拟环上，对进一步研究半素拟环的其他性质是很有帮助的.