巧用经验，让数学学习走向深度理解

葛敏辉

【摘   要】《分数的初步认识》教学时应先让学生深刻地认识表示量的分数的意义，不宜把表示关系的形式同时呈现，这样更符合学生认识数的逻辑序列。本文介绍了借助学生的分物经验，从“半块月饼”开始，到“半个图形”再到“[14]”个、“[34]”个，逐步理解分数表示具体量意义的教学过程。

【关键词】分数;初步认识;具体量;生活经验

《分数的初步认识》是分数教学的起始课，是后继所有分数的相关学习内容的基础。学生在正式认识分数以前，对生活中“二分之一”这样的表述并不陌生，对“半个”“一半”也有着丰富的经验，看起来，这节课的教学似乎不难。但认真推敲会发现：“半个”表述的是具体量的多少，“一半”表述的是两个量之间的关系，两者并不相同。教材中二者同時呈现，学生一开始也就这样混沌着学习，在分数学习的最初阶段没有显示出问题，但随着学习的深入，后继解决分数应用题常常会出现“量（具体数量）率（量与量之间关系）”混淆，问题解决困难的现象。

因此，在初步认识分数时应先让学生深刻地认识表示量的分数的意义，不宜把表示关系的形式同时呈现，这样更符合学生认识数的逻辑序列。本设计从“半个”开始，利用学生的分物经验引导学生在“初步认识”时体会分数表示具体量的意义。

一、经验呈现，用“半块”引出分数

师：我们很小的时候就会分东西了，对吗？今天老师请大家来帮助分饼，出示以下问题：

（1）如果把4块饼平均分给2个人，每人分到（    ）块饼。（板书：2块）

（2）如果把2块饼平均分给2个人，每人分到（    ）块饼。（板书：1块）

（3）如果把1块饼平均分给2个人，每人分到（    ）块饼。

生：半块。（板书：半块）

师：半块该用什么数来写呢？

生1：0.5。

师：你是用我们以前学过的小数来表示的！还有不同的吗？

生2：二分之一。

师：小朋友们有没有听到过这样的数？谁会写呢？

生3：这是分数。（学生板书：[12]）

师：对。这个数和我们以前学过的数不一样，它叫分数。今天这节课我们就来认识这种新的数。（揭题）大家对这种新的数有什么疑问要提吗？

生4：分数为什么要这样写？

生5：半个已经可以用0.5来表示，为什么还要有分数来表示？

生6：除了[12]还有其他分数吗？其他分数是表示什么意思？

生7：分数为什么会有两个数字？

……

（教学思考：经验是新知生长的土壤和根基，调动学生生活中分物的经验引入分数，把1块饼平均分给2个人，每人分到半块，这个“半块”是学生熟悉的常识，怎么用数来表示它，就成了一个引起所有学生思考的焦点问题。这个过程不仅让学生感受到分数产生的必要性，还打开了学生的数学视域，引发学生的主动思考和好奇心理，新知在旧知的基础上自然生成。）

二、经验对接，借“形象”认识分数

1.认识[12]，初步感受分数的意义

（1）分数的读写和名称。

师：同学们有这么多问题想知道。那先来说说怎么读、怎么写，有知道的吗？

学生介绍读法、写法，介绍各部分名称。（略）

（2）讨论“怎么得到半块饼”。

师：想知道分数里面的奥秘，还是让我们回想一下，刚才是怎么得到半块饼的？谁来说一说？（出示饼的模型）

生1：在饼的中间切一刀，就是半个饼。

生2：把饼对折，分成了两半，就是半个饼。

生3：就是把饼平均分，分成2份，每份就是半个饼。

师：大家说的都是得到半个饼的过程。切一刀，平均分成了2块，取1块就是半个饼。这个过程在这个分数（指[12]）里能找到痕迹吗？

生4：我找到了分成2份，就是底下的这个2。

生5：上面的1，就是拿起的其中1块。

师：那切一刀这个平均分表示在哪里？

生6：应该是上下两个数字间的那条横线。

小结：说得很好。平均分用“―”表示，2块用2表示，1块用1表示。

（3）比较优化

师：刚才分出半块饼的过程，你是喜欢用自己话来说，还是喜欢用这个分数来表示？为什么？

生7：喜欢分数记录，因为很方便。

生8：分数不仅让我们知道是半个，还能让我们知道是怎么分出来的。

（教学思考：这个环节在学生围绕“怎么得到半块饼”的自由阐述中，梳理出关键要素，即平均分、分成2份，取1份，虽然没有过于形式化的语言规范，但学生用自己的生活语言已经把这些要素表达出来了。这些经验与数学符号的对接，很好地赋予了分数各部分的直观表象，进而让学生体会到符号化表达的优越性，这比机械地记忆分数的概念更有意义。）

2.找出[12]个图形，理解分数的意义

师：1块饼平均分成2份，1份是[12]块饼，一个图形平均分成2份，1份是——[12]个图形。你能找出[12]个图形吗？想办法把[12]个图形表示出来。（提供练习单，见图1）

学生独立完成后全班反馈。

师： 你觉得这位同学把[12]个图形表示出来了吗？（投影图2）

生1：表示出来了。

生2：没有表示出来。

追问：说说你们的想法。

生2：他是用虚线来表示的。（上台边比画边说）

生1：虚线只是把平均分表示出来，[12]个图形没有表示出来。

生3：对，你只平均分成了2块。

追问：怎样才能让大家一眼看出[12]个图形？

生：可以通过涂色来表示取出的那一半。（边讲解边演示。）

小结：表示[12]个图形时，不仅要把图形平均分成2份，还要表示出取出其中的1份，可以用涂色表示取出的数量。

（学生修改后呈现作品，如图3）

生：没有涂色的部分也是[12]个图形。

（教学思考：找出[12]个图形的活动，是期望通过动作表征、语言表征、符号表征与图像表征的转化，使前面环节积累的隐性感知外化显现出来，在讨论、争辩的过程中加深理解。很多学生會误认为平均分成2份就是[12]了，因此这个环节是让学生亲身经历表征分数的过程，在经验分享、观点碰撞中明白不仅要平均分出2份，还必须要取出其中的1份。这也给了中下学生再一次理解分数的结构及意义的机会，帮助学生超越了对“半个”这一生活原型的认识，形成了较为清晰的数学表象，为后面的进一步抽象和理解奠定了基础。）

3.观察比较[12]个正方形，感悟分数本质

师：仔细观察，怎么会有2个[12]个正方形，到底谁对呀？（展示学生作品，如图4）

生：都可以的。

师：为什么都可以？

生1：因为它们都是表示半个正方形。

生2：因为他们都是把这个正方形平均分成2份，不管分出来的形状是什么样的，只要分出来的每1份都是半个正方形，就都是[12]。

小结：看来切法不是关键，形状可以不相同，只要把正方形平均分成2份，其中的1份就是[12]个正方形。

（教学思考：从饼到图形，从切半个到表示[12]个正方形，目的是使分数一直作为量的表示而理解，没有出现率的表示，这样可以使学生更好地从经验走向数学理解。通过比较不同的形式，进一步使学生感悟到同一个图形可以有形状不同的[12]个，但它们的本质是一样的，巩固了学生对分数本质的认识。）

三、经验泛化，以“比较”理解分数

师：刚才同学们问，其他的分数表示什么意思呢？我们来看，如果分的饼不是半块，而是比半块还要小的饼，我们该怎么表示呢？（出示更小块饼的模型）

生1：[13]。

生2：[14]。

生3：无法表示。分数是表示分的过程，现在不知道怎么分，所以无法表示。

（出示：熊大和熊二分饼，把这个饼平均分成4份，熊大拿起了1份。）

问题：这块就是熊大的，熊大拿到了（    ）个饼。

生3：[14]个。因为平均分成了4份，只取了1份，所以应该是[14]个。

师：熊二拿到了（    ）个饼。谁能上来写一写？

生4：[34]个。

师：你们是怎么想的呀？

生5：因为平均分成4份，只取1份是[14]个，取3块就是3个[14]个。

生6：现在是取了其中的3份，3份就是[34]个了。

师：仔细观察（指[12]，[14]，[34]），从写出的这些分数中你们有什么发现吗？为什么[12]和[14]会分母不一样，分子一样？为什么[14]和[34]会分母一样，分子不一样？

生7：分子一样是因为他们取的块数都一样，分母不一样是因为平均分的份数不一样，一个平均分成2块，一个平均分成4块。

生8：分母一样是因为都是平均分成4份，所以分母都是4。分子不一样是因为取的块数不一样。取几块，在分子的位置上就写几。

小结：分母是表示平均分成的份数。分子表示取来的份数。

（教学思考：[14]只是几分之一的一个代表，是对前面[12]的理解的一次泛化。[14]作为一个新生长点，如果学生理解了，无论是几分之一都自然能理解。对[34]的讨论更是促进学生进一步理解分数的意义。在比较异同的活动中，使学生进一步感悟到分母、分子分别表示什么，由此很好地理解用分数来表示数量，不仅可以表示分物的过程，还可以表示分物的结果，用分数表示数量关系更容易让学生理解，方便他们把分数纳入到自己的认数体系中。）

分数具有多重意义。以上为从具体量开始教学分数初步认识的一次尝试，后继在学习分数大小比较、同分母分数加减的时候，都可以继续尝试以具体量为抓手进行教学。当学生对分数“量”的含义理解深入后，进一步借助“倍”理解分数“关系”的含义，借助除法理解分数“比”的含义等，让分数认识的教学不急于一蹴而就，而是逐步走向丰富。

（浙江省东阳市吴宁第五小学   322100）