基于数学核心素养的公式教学

鲁依玲

【摘要】在新一轮的高中数学课程标准修订的过程中，数学核心素养被明确写入标准，它包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.那么，在高中课堂教学中，如何落实数学核心素养呢？史宁中教授曾基于这些素养向大家描述了一个理想的教学过程：把握数学知识的本质、把握学生认知的过程;创设合适的教学情境、提出合适的数学问题;启发学生思考、鼓励学生与他人交流;让学生在掌握知识技能的同时，理解数学知识的本质;感悟数学的思想、形成和发展数学核心素养.笔者将基于以上理想教学过程中的五个环节，努力践行培养学生数学核心素养的教学追求，以“二倍角的正弦、余弦、正切公式”新授课为例谈一些粗浅的想法.

【关键词】数学核心素养;二倍角公式;一般到特殊;整体代换

一、教材分析

本节课是人教版普通高中数学教材必修4第3章“3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式”的内容，它是在研究了三角函数的两角和与差公式的基础上，进一步研究具有“二倍角”这种特殊关系的正弦、余弦、正切公式，它的学习不仅可以深化学生对两角和与差公式的理解，同时也为研究三角恒等式及三角函数等问题提供了非常有用的理论工具.它的学习体现了类比推理、从一般到特殊的化归思想、换元等重要数学思想方法.因此，我们必须深刻理解这一公式.

二、学情分析

其一：知识与经验：学生经过了一般三角函数的两角和与差公式的学习，体验了类比推理、转化与化归等数学思想方法，但由于其对于知识的掌握程度还停留在表层，把知识只作为一个个独立的模块来认识，没有把知识与知识互相联系起来，所以不一定高效.其二：思维与习惯：学生思维逐渐由形象向抽象过渡，主要处于经验偏理性思维，交流、提问、分享、笔记、反思等好习惯比较缺失.其三：情感与态度：学生虽然对一般三角函数的两角和与差公式的理解与应用不够自信，但对接下来的学习有一定的好奇心，愿学但受挫力和意志力不够高.

三、教学目标

首先，理解二倍角公式推导，掌握二倍角公式及其变形公式;能综合运用二倍角公式进行化简、计算、证明.其次，可以通过经历二倍角公式的类比与分析、推理与证明、归纳与反思、交流与分享等过程，进一步体会化归这一基本数学思想在求值、化简、恒等证明中所起的作用， 进一步掌握联系变化的观点，提高分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.最后，认识与体验二倍角的正弦、余弦、正切公式的实用与审美价值，感受类比推理、从一般到特殊、转化与化归、换元等重要数学思想方法，进一步增强学习数学的信心与兴趣.

四、教学过程

（一）温习旧知

【片段实录】师：在上两节课呢，我们已经学习过了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，也已经感受过了它们给解决问题带来的方便，那大家还记得多少呢？下面请一个学生来黑板上默写这六个公式，其他学生在下面默写.

生：（70%的学生都能正确默写这六个公式）sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β，cos（αβ）=cos αcos β±sin αsin β，tan（α±β）=tan α±tan β1tan αtan β .

【片段设计意图】复习回顾上节课所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从而达到在帮助学生巩固已学知识的同时，更好地联系本节课将学的倍角公式的目的.由于倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式中一种特殊的形式，因此，还可以借此将学生学习的积极性调动起来.

（二）提出问题

【片段实录】师：复习完这六个公式，我们一起来看一个问题，看大家能否用已学的知识来解决它.

在△ABC中，AB=AC=2BC，求∠A的正弦值、余弦值、正切值？

学生思考.

师：一般我们求三角形中某个角的三角函数值时，是不是首先要考虑它是否在直角三角形中啊？∠A在直角三角形中吗？

生：没有.（大家异口同声）

师：那我们要怎么办？

生：（思考）构造直角三角形，过点A作BC的垂线，交BC于点D.

师：又因为等腰三角形“三线合一”的特性，所以求∠A的三角函数值也就相当于求2∠BAD的三角函数值，为了叙述简便，我们令∠BAD=∠α，这题即求sin 2α，cos 2α，tan 2α，那如何求呢？

【片段设计意图】创设合适的问题情境，既可以最大限度地抓住学生的好奇心，使学生在兴趣和求知欲的驱动下积极、主动地去学习和探索丰富多彩的数学知识，又能引出本节课的核心知识.

（三）课堂探究

1.探索规律

【片段实录】师：大家想一想，我们是如何由两角差的余弦公式推导得出两角和的余弦公式的？生：（思考）令cos（α-β） 中的β为-β.

【片段设计意图】帮助学生回忆两角和的余弦公式的推导，引导学生发现其中的规律，为接下来的自主探究做好知识和方法上的铺垫.

2.类比探索

【片段实录】师：那大家能类比上述公式推导过程，利用已学的公式推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？ 生：令两角和的三角函数公式中的β=α即可得到

sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

师：真不错！但大家也要注意其中正切函数的定义域是有限制的，大家思考一下，对于二倍角的余弦公式，能否有其他表示形式？生：利用cos2α+sin2α=1，得到cos 2α=1-2sin2α或cos 2α=2cos2α-1.

师：大家观察之前这兩组公式（两角和的三角函数公式和刚刚推导出来的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式），它们之间存在着什么联系吗？生：刚刚推导出来的sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式是之前所学公式的一种特殊形式.

师：是的！这里是不是体现了从一般到特殊的思想啊，我们将这种特殊的三角函数公式叫作二倍角的正弦、余弦、正切公式.

【片段设计意图】引导学生在和角公式的基础上令其中的β=α，让学生领会到从一般到特殊的数学思想，使学生的思维品质和整体素质得到升华.

3.深化概念

【片段实录】师：大家是如何理解“倍”的概念的. 生：2α是α的两倍.

师：仅仅限于2α与α吗？α与α2不行吗？生：不是.

师：大家一定要用整体代换——换元的思想去看待“倍”，它描述的是两个数量之间的关系，是一个相对数量关系，如α是α2的二倍、2α是α的二倍等，大家试着做下这个题目：

已知sin 2α=35，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.

一半以上的学生都能做对.

教师再次强调“倍”的概念.

【片段设计意图】先了解学生对“倍”的理解，最好能暴露学生的错漏点，在此基础上对学生的看法发表意见，不仅能加强学生对“倍”的理解，还能增强学生对学习的主动性;之后再次通过一道题加深学生对它的理解，强调“倍”是描述两个数量之间的相对关系，引导学生对“倍”的正确认识.

4.巩固探究

【片段实录】师：（用多媒体展示题目）大家试着做一下下面这道题.

化简 1-cos 2θ+ 1+cos 2θ 0<θ<π2.

极大部分学生不能正确选择合适的二倍角的余弦公式.

师：要想化简，是不是就要去掉根号啊？那我们是不是要想办法将里面的式子变成平方的形式啊？

学生表示赞同.

师：所以1-cos 2θ中的cos 2θ应该选择哪个公式啊？

生：选择cos 2θ=1-2sin2θ.

师：为什么？

生：既能消掉1，又能升高次数.

师：那1+cos 2θ中的cos 2θ应该选择哪个公式啊？

生：选择cos 2θ=2cos2θ-1.

师：所以得到1-cos 2θ=2sin2θ，1+cos 2θ=2cos2θ.这也是非常重要的降角升幂公式.

【片段设计意图】通过练习引出降角升幂公式，既能让学生明白该公式的重要性，也进一步加深了学生对该公式的理解与应用.

（四）学以致用

师：（依次展示以下练习题）

类型一：逆用公式：求以下各式的值

（1）2sin 15°cos 15°.

（2）2cos2π8-1.

（3）2tan 22.5°1-tan222.5°.

类型二：正用公式与变形公式相结合

证明1+sin 2θ-cos 2θ1+sin 2θ+cos 2θ=tan θ.

类型三：综合运用公式

在△ABC中，cos A=45，tan B=2，求tan（2A+2B）的值.

【片段设计意图】设计以上练习题，既能加强学生对二倍角公式的记忆和理解，又能训练学生的逆向思维及灵活思维，培养学生思维的广阔性与灵活性.

（五）小结反思

【片段实录】师：本节课你有什么收获和困惑（从知识上、思想方法上、需注意的地方这三个方面让学生讨论再分享）.生：知识上知道了倍角公式和降角升幂公式，思想方法上体悟了从一般到特殊的思想和整体代换思想，在正切公式中需注意定义域的限制，做题时注意三角函数的正负问题，对倍的概念的理解.

【片段设计意图】强调学以致用、小结反思、学法指导，授人以鱼的同时授人以渔.

五、教学反思

基于学生现有认知水平，笔者按数学核心素养的培养要求设计本节课，有收获也有遗憾.

（一）突出重点，突破难点.教学过程紧紧围绕二倍角的正弦、余弦、正切公式这一重难点展开，笔者通过类比推理、从一般到特殊、整体代换的思想来加深学生对该公式的理解与应用，达成了教学目标，体现了培养学生数学核心素养的教学追求.

（二）突出学生的主体地位.在课堂的开端，笔者通过设置合适的问题情境，引导学生从数学内部发展的需求或生产、生活的需求出发，使学生感受到每个公式都不是凭空出现的，并用数学的眼光去看待生活世界与数学世界.在整个探究过程中，笔者通过引导，一步一步让学生参与其中，启发学生思考，引导学生学会学习，增强学生学习的主动性.

（三）思维基本连贯.本节课的设计着力于二倍角的正弦、余弦、正切公式的形成與应用，笔者通过设置教学环节，在潜移默化中实现学生核心素养的提升，最终使学生达到用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界的崇高境界：追溯从何——复习回顾已学知识、把握学生心向，把握是何——创设问题情境、引入新知，连接与何——探索新知与旧知的联系，操作如何——类比探索、揭示新知本质，效果如何——设置习题、检测学习效果，挖掘有何——引导学生对本节课进行总结、体悟公式本质及蕴含的思想与方法.

（四）对学生的认知不足.在某些习题的讲解过程中，笔者忽略了目前这一阶段学生的认知水平和认知过程，讲得过快，导致学生只会了讲评的习题，却不能灵活运用在相同类型或变式题中.

【参考文献】

[1]毛渭泉.二倍角的正弦、余弦、正切公式的教学 [J].上海中学数学，2011（3）：8-11.

[2]吴洪生.基于核心素养的“任意角的三角函数”教学案例[J].中学数学教学参考，2017（9）：14-17，23.

[3]张东.数学核心素养视角下公式教学的思考与实践[J].中国数学教育，2018（10）：3-5.