函数一致连续性的教学难点与解析策略

潘伟云

【摘要】函数一致连续性是高等数学的重要基础性质，其对学生未来的学习有重要的奠基作用.本文结合大专院校学生特点及数学分析教学的基本现状，梳理函数一致连续性的教学难点，思考突破这一教学障碍的有效策略，为大专数学教师开展函数一致连续性教学提供参考.

【关键词】函数;一致连续;认知障碍;几何直观;对比探究

一、函數一致连续性教学的主要障碍和难点

（一）教学障碍

函数一致连续性需要关联函数的连续性来进行对比和差异化界定，例如不均匀的连续性是很难通过语言描述、视觉特征来总结的.我们经过访谈发现，学生理解函数一致连续性的认知障碍主要表现为以下几点：一是不能很好地理解连续和连续性的差异，不能很好地理解“函数的连续性水平是在不同参数区间下表现出的变化程度的差异水平”;二是难以通过直观观察发现连续函数和一致连续函数在曲线图像上的差异，例如学生在对比y=x和y=1x的图像时不能很好地区分两个函数在第一象限中曲线的平滑程度.从本质上看，这两种认知障碍的关键性问题在于教学模式未能良好匹配学生的能力.

（二）教学难点

由上文分析可知，函数一致连续性的认知障碍在学生群体中的表现有所不同，这种问题可以通过更具适应性的训练与讲解策略来解决.笔者在总结自己多年教学经验和体会后发现，在进行函数一致连续性教学时，学生普遍反映较难理解的内容有两点：其一，与函数的连续性区分，比如有部分学生不能用数学语言揭示函数连续与一致连续的差异，其本质上是没有真正理解函数的一致连续几何与代数特性;其二，难以内化和理解函数局部和整体的性质，比如函数的整体一致连续性可以理解为“在坐标系中，函数的自变量区间δ无论如何取值，在与其相应的ε区间构成矩形后，函数的输出值始终不会穿越该矩形”.

基于上述分析，对于大专数学函数一致连续性的教学，教师需要关注两类要素：一是关注学生认知差异，让学生通过适合自己的思维方式来理解函数一致连续性的本质特性;二是把握教学中出现频率较高的难点、重点，在讲解理解难度高的知识点时对学生进行更深入的指导.

二、以几何直观解决学生认知障碍的策略

由上文分析可知，教师在“一致”概念的教学中，可以按照多元智能理论的指导，选择更易于被学生接受和理解的视觉思维模式，帮助其理解函数一致连续性.

笔者建议教师在教学实践中将关键性问题的解析分为以下两个步骤.

第一步，教师复述函数一致连续性概念和教材中的标准化描述：设函数f（x）在区间I上有定义，ε>0，δ>0，使得对于区间I上的任意两点x1，x2，当x1-x2<δ时，恒有f（x1）-f（x2）<ε，则f（x）在区间I上一致连续.

在复述完概念后，教师再按照概念描述的条件来逐步模拟并绘制一个符合一致连续性的函数曲线.

如图1所示，图1（a）展示了函数在I区间的自变量与函数输出值区间定义，图1（b）表达了函数连续性在相应范围内的展示.但只通过这种展示可能无法真正让学生理解这种一致连续函数与普通函数有何种差异，因此，教师可以引入由ε，δ构成的矩形来展示函数一致连续与非一致连续的直观差异.

如图2所示，图2（a）展示了函数自变量在δ内滑动时函数自变量与输出值的变化浮动始终维持在由ε，δ构成的矩形内部，说明了函数连续性是比较平稳且小幅度的，而图2（b）则展示了函数自变量在δ内向左滑动到一定程度时，函数输出值的变化超出了由ε，δ构成的矩形，说明了在自变量下降到一定程度后，即便是小幅的变化也会引起函数输出值的较大幅度变化，这种情况展示了连续性差异，也能从几何直观形式展现连续的“非一致”表现.

第二步，教师在通过几何直观充分强化学生对一致连续性的认识后，再采用极限等代数形式来展示一致连续的特点，这样更容易让学生理解一致连续的特点.例如：

由以上两个极限形式，我们可以发现连续与一致连续的代数差异在于c和x2，这两个参数的差异直接导致了连续与一致连续的静态和动态差异.

至此，从视觉直观到代数直观的解析完成.这样能够更有效地帮助学生从几何和代数层面分别理解这一概念，更形象且深刻地认识函数一致连续的特点.

在相应概念讲解后，教师可以利用学生认知和记忆的短时残留优势，快速引入例题并通过图形绘制和解析范例进一步展示更具应用型的、复杂的一致连续性函数.例如，设计对任意x1，x2∈（-∞，+∞），有如下函数关系：|f（x1）-f（x2）|=|sin x1-sin x2|=2cosx1+x22sinx1-x22≤2sinx1-x22≤2x1-x22=x1-x2，在此基础上对于任意给定的ε>0，设δ=ε，则当x1-x2<δ时，有fx1-fx2<ε，由此进一步证明函数fx=sin x在（-∞，+∞）上一致连续.在该问题的分析过程中，我们可以直接基于上文分析过程中所使用的函数一致连续概念和几何解析方式绘制类似的解析图像（如图3所示），从图像上证明f（x）=sin x被无数个连续的ε，δ构成的矩形所覆盖，参数变化的过程中输出值始终不会穿越示例图形.

在以上两个步骤的图形展示过程中，笔者建议教师采用动态工具来展示参数变化下的矩形穿越情形，从而使学生在动态的图形变化中认知概念.

三、通过对比探究强化学生对相似概念区别的认知

有些学生不擅长几何思维，教师可通过代数或几何推理过程帮助其发现差异，理解概念特性.

第一步，教师通过对比函数连续和一致连续的概念差异来让学生了解函数一致连续的特有性质.

函数一致连续的定义：设函数f（x）在区间I上有定义，ε>0，δ>0，使得对于区间I上的任意两点x1，x2，当x1-x2<δ时，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε，则f（x）在区间I上一致连续.

函数连续的定义：设函数f（x）在开区间I上有定义，对于区间I上的任意一点x0，如果有limx→x0f（x）=f（x0），则函数f（x）在区间I上是连续函数.

对比上述定义，我们可以发现函数一致连续定义相比于函数连续定义最显著的区别在于对于定义域的限定更为严格.简单来说，函数连续可以是多个定义域内部连续的组合，而函数一致连续的定义中对于定义域的限制是整体性的，即函数的基本条件同时受δ，ε和x2的影响.学生通过这种对比分析，能够更好地理解函数一致连续所定义的“一致”是针对“连续强度”而言的.

第二步，教师通过对比函数一致连续和非一致连续来定位函数一致的关键特征.比如，教师设计如下证明题目来进一步引导学生发现非一致连续的内涵：设函数fx=sin 1x在区间（0，1）上有非一致连续特性.在具体证明中，教师引导学生先对参数进行转换并设定一个代数区间作为一致连续的极限形式分析区间，即取xn=12nπ+π2，则yn=12nπ-π2，由此可发现limn→∞（xn-yn）=0，此时取ε为1，对δ>0，则能够确定一个N值，在n0，δ>0，区间上任意两点x1，x2，且f（x1）-f（x2）<ε，那么能否證明x1-x2<δ？分析该问题的关键在于找出条件不成立的点，其本质上是对函数一致连续性的回顾与条件检验.学生在解答此题时需要对fx=1x这个典型的非一致连续函数进行代数或几何分析，例如通过代数方法进行分析：在x1→x2以1n的方式接近时，设x1=1n，则x2=1n+1，则可以发现limx1→x2f（x1）-f（x2）=limn→∞n-n+1=-1.故学生就可以进一步发现δ趋近于0，ε趋近于1，在这个假设问题中条件和结果均不成立.这种反例证明能够有效帮助学生更清晰地把握一致连续的参数条件，以便在证明、反证等相关应用中更准确和灵活地运用函数一致连续的概念.

结 语

笔者认为教师在高等教育中进行关键性数学知识的教学时不仅仅要关注学生的学习难点，还要关注学生在知识认知与理解时的智能障碍.在此基础上，教师可以先按照学生的性格特点设定教学方案分型策略，然后在各类教学方案中提出有针对性的难点分析与引导策略，确保学生的个性化发展与进步.

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